En matemáticas , una matriz compleja de Hadamard H de tamaño N con todas sus columnas (filas) mutuamente ortogonales , pertenece al tipo Butson H ( q , N ) si todos sus elementos son potencias de q -ésima raíz de la unidad,
![{\displaystyle (H_{jk})^{q}=1\quad {\text{for}}\quad j,k=1,2,\dots,N.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Existencia
Si p es primo y , entonces sólo puede existir para con el número entero m y se conjetura que existen para todos esos casos con . Para , la conjetura correspondiente es la existencia de todos los múltiplos de 4. En general, el problema de encontrar todos los conjuntos tales que existan matrices de tipo Butson permanece abierto .![{\displaystyle N>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H(p,N)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\geq 3}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p=2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{q,N\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H(q,N)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
contiene matrices de Hadamard reales de tamaño N ,
contiene matrices de Hadamard compuestas por Turyn las llamó matrices complejas de Hadamard.![{\displaystyle \pm 1,\pm i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- en el límite se pueden aproximar todas las matrices complejas de Hadamard .
![{\displaystyle q\to \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Matrices de Fourier
![{\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[(2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\text{ para }}j,k=1,2 ,\puntos ,N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- pertenecen al tipo Butson,
![{\displaystyle F_{N}\en H(N,N),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- mientras
![{\displaystyle F_{N}\otimes F_{N}\en H(N,N^{2}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F_{N}\otimes F_{N}\otimes F_{N}\en H(N,N^{3}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
![{\displaystyle S_{6}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&1&z&z&z^{2}&z^{2}\\1&z&1&z^{2}&z^{2}&z\\1&z&z^{2}&1&z&z^ {2}\\1&z^{2}&z^{2}&z&1&z\\1&z^{2}&z&z^{2}&z&1\\\end{bmatrix}}\in \,H(3,6)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- dónde
![{\displaystyle z=\exp(2\pi i/3).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- AT Butson, Matrices de Hadamard generalizadas, Proc. Soy. Matemáticas. Soc. 13, 894-898 (1962).
- AT Butson, Relaciones entre matrices de Hadamard generalizadas, conjuntos de diferencias relativas y secuencias recurrentes lineales de longitud máxima, Can. J. Matemáticas. 15, 42-48 (1963).
- RJ Turyn, Matrices complejas de Hadamard, págs. 435–437 en Combinatorial Structures and its Applications, Gordon y Breach, Londres (1970).
enlaces externos
- Matrices complejas de Hadamard de tipo Butson: catálogo, de Wojciech Bruzda, Wojciech Tadej y Karol Życzkowski, consultado el 24 de octubre de 2006