Matriz de Hadamard de tipo Butson

En matemáticas , una matriz de Hadamard compleja H de tamaño N con todas sus columnas (filas) mutuamente ortogonales , pertenece al tipo Butson H ( q ,  N ) si todos sus elementos son potencias de la q -ésima raíz de la unidad,

${\displaystyle (H_{jk})^{q}=1\quad {\text{for}}\quad j,k=1,2,\dots ,N.}$

Existencia

Si p es primo y , entonces pueden existir solo para con entero m y se conjetura que existen para todos los casos con . Para , la conjetura correspondiente es la existencia para todos los múltiplos de 4. En general, el problema de encontrar todos los conjuntos tales que existan las matrices de tipo Butson , permanece abierto . ${\displaystyle N>1}$ ${\displaystyle H(p,N)}$ ${\displaystyle N=mp}$ ${\displaystyle p\geq 3}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \{q,N\}}$ ${\displaystyle H(q,N)}$

Ejemplos

• ${\displaystyle H(2,N)}$contiene matrices de Hadamard reales de tamaño N ,
• ${\displaystyle H(4,N)}$contiene matrices de Hadamard compuestas de – dichas matrices fueron llamadas por Turyn, matrices de Hadamard complejas. ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$
• En el límite se pueden aproximar todas las matrices de Hadamard complejas . ${\displaystyle q\to \infty }$
• Matrices de Fourier ${\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[(2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\text{ for }}j,k=1,2,\dots ,N}$

pertenecen al tipo Butson,

${\displaystyle F_{N}\in H(N,N),}$

mientras

${\displaystyle F_{N}\otimes F_{N}\in H(N,N^{2}),}$

${\displaystyle F_{N}\otimes F_{N}\otimes F_{N}\in H(N,N^{3}).}$

${\displaystyle D_{6}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&-1&i&-i&-i&i\\1&i&-1&i&-i&-i\\1&-i&i&-1&i&-i\\1&-i&-i&i&-1&i\\1&i&-i&-i&i&-1\\\end{bmatrix}}\in \,H(4,6)}$,

${\displaystyle S_{6}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&1&z&z&z^{2}&z^{2}\\1&z&1&z^{2}&z^{2}&z\\1&z&z^{2}&1&z&z^{2}\\1&z^{2}&z^{2}&z&1&z\\1&z^{2}&z&z^{2}&z&1\\\end{bmatrix}}\in \,H(3,6)}$

dónde ${\displaystyle z=\exp(2\pi i/3).}$

Referencias

• AT Butson, Matrices de Hadamard generalizadas, Proc. Am. Math. Soc. 13, 894-898 (1962).
• AT Butson, Relaciones entre matrices de Hadamard generalizadas, conjuntos de diferencias relativas y secuencias recurrentes lineales de longitud máxima, Can. J. Math. 15, 42-48 (1963).
• RJ Turyn, Matrices de Hadamard complejas, págs. 435–437 en Estructuras combinatorias y sus aplicaciones, Gordon y Breach, Londres (1970).

Enlaces externos

• Matrices complejas de Hadamard de tipo Butson: catálogo, de Wojciech Bruzda, Wojciech Tadej y Karol Życzkowski, consultado el 24 de octubre de 2006