Fórmulas de Friis para el ruido

La fórmula de Friis o fórmula de Friis (a veces fórmula de Friis ), llamada así por el ingeniero eléctrico danés-estadounidense Harald T. Friis , es una de las dos fórmulas que se utilizan en la ingeniería de telecomunicaciones para calcular la relación señal-ruido de un amplificador multietapa . Una se relaciona con el factor de ruido mientras que la otra se relaciona con la temperatura de ruido .

La fórmula de Friis para el factor de ruido

La fórmula de Friis se utiliza para calcular el factor de ruido total de una cascada de etapas, cada una con su propio factor de ruido y ganancia de potencia (suponiendo que las impedancias coinciden en cada etapa). El factor de ruido total se puede utilizar para calcular la cifra de ruido total . El factor de ruido total se expresa como

${\displaystyle F_{\text{total}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\cdots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}\cdots G_{n-1}}}}$

donde y son el factor de ruido y la ganancia de potencia disponible , respectivamente, de la etapa i -ésima, y ​​n es el número de etapas. Ambas magnitudes se expresan como cocientes, no en decibeles. ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$

Consecuencias

Una consecuencia importante de esta fórmula es que el factor de ruido general de un receptor de radio se establece principalmente por el factor de ruido de su primera etapa de amplificación. Las etapas posteriores tienen un efecto decreciente en la relación señal/ruido . Por esta razón, el amplificador de la primera etapa de un receptor a menudo se denomina amplificador de bajo ruido (LNA). El "factor" de ruido general del receptor es entonces

${\displaystyle F_{\mathrm {receiver} }=F_{\mathrm {LNA} }+{\frac {F_{\mathrm {rest} }-1}{G_{\mathrm {LNA} }}}}$

donde es el factor de ruido general de las etapas subsiguientes. Según la ecuación, el factor de ruido general, , está dominado por el factor de ruido del LNA, , si la ganancia es suficientemente alta. La figura de ruido resultante expresada en dB es: ${\displaystyle F_{\mathrm {rest} }}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {receiver} }}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {LNA} }}$

${\displaystyle \mathrm {NF} _{\mathrm {receiver} }=10\log(F_{\mathrm {receiver} })}$

Derivación

Para derivar la fórmula de Friis para el caso de tres amplificadores en cascada ( ), considere la imagen a continuación. ${\displaystyle n=3}$

Una fuente emite una señal de potencia y un ruido de potencia . Por lo tanto, la relación señal/ruido en la entrada de la cadena del receptor es . La señal de potencia se amplifica mediante los tres amplificadores. Por lo tanto, la potencia de la señal en la salida del tercer amplificador es . La potencia del ruido en la salida de la cadena del amplificador consta de cuatro partes: ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle {\text{SNR}}_{i}=S_{i}/N_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{o}=S_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_{3}}$

• El ruido amplificado de la fuente ( ) ${\displaystyle N_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_{3}}$
• El ruido de salida referido del primer amplificador amplificado por el segundo y tercer amplificador ( ) ${\displaystyle N_{a1}}$ ${\displaystyle N_{a1}\cdot G_{2}G_{3}}$
• El ruido de salida referido del segundo amplificador amplificado por el tercer amplificador ( ) ${\displaystyle N_{a2}}$ ${\displaystyle N_{a2}\cdot G_{3}}$
• El ruido de salida referido del tercer amplificador ${\displaystyle N_{a3}}$

Por lo tanto, la potencia total de ruido en la salida de la cadena amplificadora es igual a

${\displaystyle N_{o}=N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}$

y la relación señal-ruido (SNR) en la salida de la cadena amplificadora es igual a

${\displaystyle {\text{SNR}}_{o}={\frac {S_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}}}$.

El factor de ruido total ahora se puede calcular como cociente de la relación señal-ruido (SNR) de entrada y salida:

${\displaystyle F_{\text{total}}={\frac {{\text{SNR}}_{i}}{{\text{SNR}}_{o}}}={\frac {\frac {S_{i}}{N_{i}}}{\frac {S_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}}}=1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}+{\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}}+{\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}}}$

Utilizando las definiciones de los factores de ruido de los amplificadores obtenemos el resultado final:

${\displaystyle F_{\text{total}}=\underbrace {1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}} _{=F_{1}}+\underbrace {\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}} _{={\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}}+\underbrace {\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}} _{={\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}$.

Derivación general para una cascada de amplificadores: ${\displaystyle n}$

La cifra de ruido total se da como la relación entre la relación señal-ruido en la entrada en cascada y la relación señal-ruido en la salida en cascada como ${\displaystyle \mathrm {SNR_{i}} ={\frac {S_{\mathrm {i} }}{N_{\mathrm {i} }}}}$ ${\displaystyle \mathrm {SNR_{o}} ={\frac {S_{\mathrm {o} }}{N_{\mathrm {o} }}}}$

${\displaystyle F_{\mathrm {total} }={\frac {\mathrm {SNR_{i}} }{\mathrm {SNR_{o}} }}={\frac {S_{\mathrm {i} }}{S_{\mathrm {o} }}}{\frac {N_{\mathrm {o} }}{N_{\mathrm {i} }}}}$.

La potencia total de entrada del -ésimo amplificador en la cascada (ruido y señal) es . Se amplifica de acuerdo con la ganancia de potencia del amplificador . Además, el amplificador agrega ruido con potencia . Por lo tanto, la potencia de salida del -ésimo amplificador es . Para toda la cascada, se obtiene la potencia de salida total ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{k-1}+N_{k-1}}$ ${\displaystyle G_{k}}$ ${\displaystyle N_{\mathrm {a} ,k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{k}\left(S_{k-1}+N_{k-1}\right)+N_{\mathrm {a} ,k}}$

${\displaystyle S_{\mathrm {o} }+N_{\mathrm {o} }=\left(\left(\left(\left(S_{\mathrm {i} }+N_{\mathrm {i} }\right)G_{1}+N_{\mathrm {a} ,1}\right)G_{2}+N_{\mathrm {a} ,2}\right)G_{3}+N_{\mathrm {a} ,3}\right)G_{4}+\dots }$

La potencia de la señal de salida se reescribe así:

${\displaystyle S_{\mathrm {o} }=S_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}$

mientras que la potencia de ruido de salida se puede escribir como

${\displaystyle N_{\mathrm {o} }=N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}}$

Sustituyendo estos resultados en la cifra de ruido total obtenemos:

${\displaystyle F_{\mathrm {total} }={\frac {N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{n}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}}$

${\displaystyle =1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,1}}{N_{\mathrm {i} }G_{1}}}+\sum _{k=2}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}}$

Ahora, utilizando como figura de ruido del amplificador individual -ésimo, se obtiene ${\displaystyle F_{k}=1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }G_{k}}}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle F_{\mathrm {total} }=F_{1}+\sum _{k=2}^{n}{\frac {F_{k}-1}{\prod _{l=1}^{k-1}G_{l}}}}$

${\displaystyle =F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\dots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}\dots G_{n-1}}}}$

La fórmula de Friis para la temperatura del ruido

La fórmula de Friis se puede expresar de forma equivalente en términos de temperatura de ruido :

${\displaystyle T_{\text{eq}}=T_{1}+{\frac {T_{2}}{G_{1}}}+{\frac {T_{3}}{G_{1}G_{2}}}+\cdots }$

Referencias publicadas

• JD Kraus, Radioastronomía , McGraw-Hill, 1966.

Referencias en línea

• RF Cafe [1] Figura de ruido en cascada.
• Enciclopedia de microondas [2] Archivado el 17 de mayo de 2013 en Wayback Machine . Análisis en cascada.
• Biografía de Friis en el IEEE [3]