Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert

En física, la ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert (generalmente abreviada como ecuación LLG), llamada así por Lev Landau , Evgeny Lifshitz y TL Gilbert, es un nombre utilizado para una ecuación diferencial que describe la dinámica (típicamente el movimiento de precesión ) de la magnetización $M$ en un sólido . Es una versión modificada por Gilbert de la ecuación original de Landau y Lifshitz. ^[1] La ecuación LLG es similar a la ecuación de Bloch , pero difieren en la forma del término de amortiguamiento. La ecuación LLG describe un escenario más general de dinámica de magnetización más allá de la simple precesión de Larmor . En particular, el campo efectivo que impulsa el movimiento de precesión de $M$ no está restringido a campos magnéticos reales; incorpora una amplia gama de mecanismos que incluyen anisotropía magnética , interacción de intercambio , etc.

Las diversas formas de la ecuación LLG se utilizan comúnmente en micromagnetismo para modelar los efectos de un campo magnético y otras interacciones magnéticas en materiales ferromagnéticos . Proporciona una forma práctica de modelar el comportamiento en el dominio del tiempo de los elementos magnéticos. Los desarrollos recientes generalizan la ecuación LLG para incluir la influencia de las corrientes polarizadas por espín en forma de par de transferencia de espín . ^[2]

Ecuación de Landau-Lifshitz

En un ferroimán , la magnitud de la magnetización $M$ en cada punto del espacio-tiempo se aproxima a la magnetización de saturación $M s$ (aunque puede ser menor cuando se promedia sobre un trozo de volumen). La ecuación de Landau-Lifshitz, precursora de la ecuación LLG, describe fenomenológicamente la rotación de la magnetización en respuesta al campo efectivo $H eff$ que da cuenta no solo de un campo magnético real sino también de interacciones magnéticas internas como el intercambio y la anisotropía. Una ecuación anterior, pero equivalente (la ecuación de Landau-Lifshitz) fue introducida por Landau y Lifshitz (1935): ^[1]

donde $γ$ es la relación giromagnética del electrón y $λ$ es un parámetro de amortiguación fenomenológico, a menudo reemplazado por

\lambda =\alpha {\frac {\gamma }{M_{\mathrm {s} }}},

donde $α$ es una constante adimensional llamada factor de amortiguamiento. El campo efectivo $H eff$ es una combinación del campo magnético externo, el campo desmagnetizante y varias interacciones magnéticas internas que involucran efectos mecánicos cuánticos, que se define típicamente como la derivada funcional de la energía libre magnética con respecto a la magnetización local $M$ . Para resolver esta ecuación, se deben incluir condiciones adicionales para el campo desmagnetizante para acomodar la geometría del material.

Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert

En 1955, Gilbert reemplazó el término de amortiguación en la ecuación de Landau-Lifshitz (LL) por uno que depende de la derivada temporal de la magnetización:

Se trata de la ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG), donde $η$ es el parámetro de amortiguamiento característico del material. Puede transformarse en la ecuación de Landau-Lifshitz: ^[3]

dónde

\gamma '={\frac {\gamma }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad \lambda ={\frac {\gamma ^{2}\eta }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}.

En esta forma de la ecuación LL, el término de precesión $γ'$ depende del término de amortiguamiento. Esto representa mejor el comportamiento de los ferroimanes reales cuando el amortiguamiento es grande. ^[4]^[5]

Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski

En 1996, John Slonczewski amplió el modelo para tener en cuenta el par de transferencia de espín , es decir, el par inducido en la magnetización por la corriente polarizada por espín que fluye a través del ferroimán. Esto se escribe comúnmente en términos del momento unitario definido por $m = M / M S$ :

{\dot {\mathbf {m} }}=-\gamma \mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }+\alpha \mathbf {m} \times {\dot {\mathbf {m} }}+\tau _{\parallel }{\frac {\mathbf {m} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {m} )}{\left|\mathbf {x} \times \mathbf {m} \right|}}+\tau _{\perp }{\frac {\mathbf {x} \times \mathbf {m} }{\left|\mathbf {x} \times \mathbf {m} \right|}}

donde es el parámetro de amortiguamiento adimensional, y son pares de accionamiento, y $x$ es el vector unitario a lo largo de la polarización de la corriente. ^[6]^[7] $\alpha$ $\tau _{\perp }$ $\tau _{\parallel }$

Referencias y notas a pie de página

^ ab Landau, Lev Davidovič; Lifšic, Evgenij M.; Pitaevskij, Lev P.; Landau, Lev Davidovič (2006). Física estadística. 2: Teoría del estado condensado / por EM Lifshitz y LP Pitaevskii . Curso de física teórica / LD Landau y EM Lifshitz (edición repetida). Oxford Burlington, MA: Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2636-1.
^ Ralph, DC; Stiles, MD (1 de abril de 2008). "Pares de transferencia de espín". Revista de magnetismo y materiales magnéticos . 320 (7): 1190–1216. doi :10.1016/j.jmmm.2007.12.019. ISSN 0304-8853.
^ Aharoni, Amikam (1996). Introducción a la Teoría del Ferromagnetismo . Prensa de Clarendon . ISBN 978-0-19-851791-7.
^ Para conocer los detalles del experimento no resonante de Kelly y del análisis de Gilbert (que llevó a Gilbert a modificar el término de amortiguamiento), véase Gilbert, TL y Kelly, JM "Amortiguación rotacional anómala en láminas ferromagnéticas", Conf. Magnetism and Magnetic Materials, Pittsburgh, PA, 14-16 de junio de 1955 (Nueva York: American Institute of Electrical Engineers, octubre de 1955, págs. 253-263). Las referencias textuales a las figuras 5 y 6 deberían haber sido a las tablas 1 y 2. Gilbert no pudo ajustar los experimentos de Kelly con una relación giromagnética habitual fija $γ y una$ $λ = αγ$ dependiente de la frecuencia , pero pudo ajustar esos datos para una relación giromagnética fija de Gilbert $γ G = γ /(1+ α 2) y una$ $α$ dependiente de la frecuencia . Se requerían valores de $α tan grandes como 9, lo que indica una absorción muy amplia y, por lo tanto, una muestra de calidad relativamente baja. Las muestras modernas, cuando se analizan a partir de la absorción por resonancia, dan valores de$ $α$ del orden de 0,05 o menos. JR Mayfield, en J. Appl. Phys. Suplemento del vol. 30, 256S-257S (1959), en la parte superior izquierda de la pág. 257S, escribe: “Como señaló por primera vez JC Slonczewski, el pico de par observado puede interpretarse en términos de efectos de conmutación rotacional (reorientaciones abruptas de M) que deben ocurrir cuando K/M ≤ H ≤ 2K/M”. Por lo tanto, la interpretación dada por Gilbert no fue aceptada universalmente.
^ J. Mallinson, "Sobre la precesión giromagnética amortiguada", en IEEE Transactions on Magnetics, vol. 23, núm. 4, págs. 2003-2004, julio de 1987, doi: 10.1109/TMAG.1987.1065181.
^ Slonczewski, John C. (1996). "Excitación de multicapas magnéticas impulsada por corriente". Revista de magnetismo y materiales magnéticos . 159 (1): –1–L7. Código Bibliográfico :1996JMMM..159L...1S. doi :10.1016/0304-8853(96)00062-5.
^ Wolf, SA (16 de noviembre de 2001). "Spintronics: A Spin-Based Electronics Vision for the Future". Science . 294 (5546): 1488–1495. Bibcode :2001Sci...294.1488W. doi :10.1126/science.1065389. PMID 11711666. S2CID 14010432. Archivado desde el original el 18 de junio de 2017.

Lectura adicional

Gilbert, TL (1955). "Una formulación lagrangiana de la ecuación giromagnética del campo magnético". Physical Review . 100 (4): 1243. Bibcode :1955PhRv..100.1235.. doi :10.1103/PhysRev.100.1235. Este es solo un resumen; el informe completo es "Armor Research Foundation Project No. A059, Supplementary Report, May 1, 1956", pero nunca se publicó. Se ofrece una descripción del trabajo en Gilbert, TL (2004). "A phenomenological theory of amortiguation in ferromagnetic materials". IEEE Trans. Magn . 40 (6): 3443–3449. Bibcode :2004ITM....40.3443G. doi :10.1109/TMAG.2004.836740. S2CID 35628797.
Landau, LD ; Lifshitz, EM (1935). "Teoría de la dispersión de la permeabilidad magnética en cuerpos ferromagnéticos". Phys. Z. Sowjetunion . 8, 153.
Skrotskiĭ, GV (1984). "Revisión de la ecuación de Landau-Lifshitz". Sov. Phys. Usp . 27 (12): 977–979. Código Bibliográfico :1984SvPhU..27..977S. doi :10.1070/PU1984v027n12ABEH004101.
Guo, Boling; Ding, Shijin (2008). Ecuaciones de Landau-Lifshitz . Frontiers of Research Con la Academia China de Ciencias. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-277-875-8.
Cimrak, Ivan (2007). "Un estudio sobre los números y los cálculos para la ecuación de Landau-Lifshitz del micromagnetismo" (PDF) . Archivos de métodos computacionales en ingeniería . 15 (3): 1–37. doi :10.1007/BF03024947. S2CID 195272703. Archivado desde el original (PDF) el 2015-07-05 . Consultado el 2012-05-30 .
M, Lakshmanan (2010). "El fascinante mundo de la ecuación de Landau–Lifshitz–Gilbert: una visión general". Phil. Trans. R. Soc. A. 369 ( 1939): 1280–1300. arXiv : 1101.1005 . Bibcode :2011RSPTA.369.1280L. doi :10.1098/rsta.2010.0319. PMID 21320917. S2CID 23275414.

Enlaces externos

Subprograma de dinámica de magnetización