Superficie paramétrica

Superficie especificada con parámetros

Una superficie paramétrica es una superficie en el espacio euclidiano que se define mediante una ecuación paramétrica con dos parámetros . La representación paramétrica es una forma muy general de especificar una superficie, así como una representación implícita . Las superficies que aparecen en dos de los principales teoremas del cálculo vectorial , el teorema de Stokes y el teorema de divergencia , se dan con frecuencia en forma paramétrica. La curvatura y la longitud del arco de las curvas en la superficie, el área de la superficie , los invariantes geométricos diferenciales como la primera y la segunda forma fundamental, la curvatura gaussiana , la media y la principal se pueden calcular a partir de una parametrización dada. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

Ejemplos

Toro , creado con ecuaciones: ${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin v\\y&=(R+r\cos v)\sin u\\z&=(R+r\cos v)\cos u\end{aligned}}}$

Superficie paramétrica que forma un nudo de trébol , detalles de la ecuación en el código fuente adjunto.

• El tipo más simple de superficies paramétricas está dado por los gráficos de funciones de dos variables: $${\displaystyle z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).}$$
• Una superficie racional es una superficie que admite parametrizaciones mediante una función racional . Una superficie racional es una superficie algebraica . Dada una superficie algebraica, suele ser más fácil decidir si es racional que calcular su parametrización racional, si existe.
• Las superficies de revolución dan otra clase importante de superficies que pueden parametrizarse fácilmente. Si el gráfico z = f ( x ) , a ≤ x ≤ b se rota alrededor del eje z , entonces la superficie resultante tiene una parametrización. También puede parametrizarse mostrando que, si la función f es racional, entonces la superficie es racional. $${\displaystyle \mathbf {r} (u,\phi )=(u\cos \phi ,u\sin \phi ,f(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi <2\pi .}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,}$$
• El cilindro circular recto de radio R respecto al eje x tiene la siguiente representación paramétrica: $${\displaystyle \mathbf {r} (x,\phi )=(x,R\cos \phi ,R\sin \phi ).}$$
• Utilizando las coordenadas esféricas , la esfera unitaria puede parametrizarse mediante Esta parametrización falla en los polos norte y sur donde el ángulo acimutal θ no está determinado de manera única. La esfera es una superficie racional. $${\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\phi )=(\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ),\quad 0\leq \theta <2\pi ,0\leq \phi \leq \pi .}$$

Una misma superficie admite muchas parametrizaciones diferentes. Por ejemplo, el plano de coordenadas z puede parametrizarse como para cualesquiera constantes a , b , c , d tales que ad − bc ≠ 0 , es decir, la matriz es invertible . $${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(au+bv,cu+dv,0)}$$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

Geometría diferencial local

La forma local de una superficie paramétrica se puede analizar considerando la expansión de Taylor de la función que la parametriza. La longitud del arco de una curva en la superficie y el área de la superficie se pueden encontrar utilizando la integración .

Notación

Sea la superficie paramétrica dada por la ecuación donde es una función vectorial de los parámetros ( u , v ) y los parámetros varían dentro de un cierto dominio D en el plano paramétrico uv . Las primeras derivadas parciales con respecto a los parámetros se denotan habitualmente como y y de manera similar para las derivadas superiores, $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{v},}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{uu},\mathbf {r} _{uv},\mathbf {r} _{vv}.}$

En el cálculo vectorial , los parámetros se denotan frecuentemente ( s , t ) y las derivadas parciales se escriben utilizando la notación ∂ : $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial t^{2}}}.}$$

Plano tangente y vector normal

La parametrización es regular para los valores dados de los parámetros si los vectores son linealmente independientes. El plano tangente en un punto regular es el plano afín en R ³ abarcado por estos vectores y que pasa por el punto r ( u , v ) en la superficie determinada por los parámetros. Cualquier vector tangente se puede descomponer de forma única en una combinación lineal de y El producto vectorial de estos vectores es un vector normal al plano tangente . Dividiendo este vector por su longitud se obtiene un vector normal unitario a la superficie parametrizada en un punto regular: $${\displaystyle \mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{v}.}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|}}.}$$

En general, hay dos opciones para el vector normal unitario a una superficie en un punto dado, pero para una superficie regular parametrizada, la fórmula anterior elige siempre una de ellas y, por lo tanto, determina una orientación de la superficie. Algunas de las invariantes geométricas diferenciales de una superficie en R ³ están definidas por la propia superficie y son independientes de la orientación, mientras que otras cambian de signo si se invierte la orientación.

Área de superficie

El área de la superficie se puede calcular integrando la longitud del vector normal a la superficie sobre la región apropiada D en el plano uv paramétrico : ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$ $${\displaystyle A(D)=\iint _{D}\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|du\,dv.}$$

Aunque esta fórmula proporciona una expresión cerrada para el área de la superficie, para todas las superficies, salvo las muy especiales, esto da como resultado una compleja integral doble , que normalmente se evalúa utilizando un sistema de álgebra computacional o se aproxima numéricamente. Afortunadamente, muchas superficies comunes forman excepciones y sus áreas se conocen explícitamente. Esto es cierto para un cilindro circular , una esfera , un cono , un toro y algunas otras superficies de revolución .

Esto también se puede expresar como una integral de superficie sobre el campo escalar 1: $${\displaystyle \int _{S}1\,dS.}$$

Primera forma fundamental

La primera forma fundamental es una forma cuadrática en el plano tangente a la superficie que se utiliza para calcular distancias y ángulos. Para una superficie parametrizada, sus coeficientes se pueden calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathrm {I} =E\,du^{2}+2\,F\,du\,dv+G\,dv^{2}}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$ $${\displaystyle E=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{u},\quad F=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{v},\quad G=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {r} _{v}.}$$

La longitud del arco de las curvas parametrizadas en la superficie S , el ángulo entre curvas en S y el área de la superficie admiten expresiones en términos de la primera forma fundamental.

Si ( u ( t ), v ( t )) , a ≤ t ≤ b representa una curva parametrizada en esta superficie, entonces su longitud de arco se puede calcular como la integral: $${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {E\,u'(t)^{2}+2F\,u'(t)v'(t)+G\,v'(t)^{2}}}\,dt.}$$

La primera forma fundamental puede considerarse como una familia de formas bilineales simétricas definidas positivas en el plano tangente en cada punto de la superficie que dependen suavemente del punto. Esta perspectiva ayuda a calcular el ángulo entre dos curvas en S que se intersecan en un punto dado. Este ángulo es igual al ángulo entre los vectores tangentes a las curvas. La primera forma fundamental evaluada en este par de vectores es su producto escalar , y el ángulo se puede encontrar a partir de la fórmula estándar que expresa el coseno del ángulo a través del producto escalar. $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}}$$

El área de superficie se puede expresar en términos de la primera forma fundamental de la siguiente manera: $${\displaystyle A(D)=\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

Por la identidad de Lagrange , la expresión bajo la raíz cuadrada es precisamente , y por lo tanto es estrictamente positiva en los puntos regulares. ${\displaystyle \left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|^{2}}$

Segunda forma fundamental

La segunda forma fundamental es una forma cuadrática en el plano tangente a la superficie que, junto con la primera forma fundamental, determina las curvaturas de las curvas en la superficie. En el caso especial en el que ( u , v ) = ( x , y ) y el plano tangente a la superficie en el punto dado es horizontal, la segunda forma fundamental es esencialmente la parte cuadrática de la expansión de Taylor de z en función de x e y . $${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}}$$

Para una superficie paramétrica general, la definición es más complicada, pero la segunda forma fundamental depende únicamente de las derivadas parciales de orden uno y dos. Sus coeficientes se definen como las proyecciones de las segundas derivadas parciales de sobre el vector normal unitario definido por la parametrización: ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ $${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}.}$$

Al igual que la primera forma fundamental, la segunda forma fundamental puede verse como una familia de formas bilineales simétricas en el plano tangente en cada punto de la superficie que dependen suavemente del punto.

Curvatura

La primera y segunda formas fundamentales de una superficie determinan sus invariantes geométricos diferenciales importantes : la curvatura gaussiana , la curvatura media y las curvaturas principales .

Las curvaturas principales son las invariantes del par formado por la segunda y la primera forma fundamental. Son las raíces κ ₁ , κ ₂ de la ecuación cuadrática $${\displaystyle \det(\mathrm {I\!I} -\kappa \mathrm {I} )=0,\quad \det {\begin{bmatrix}L-\kappa E&M-\kappa F\\M-\kappa F&N-\kappa G\end{bmatrix}}=0.}$$

La curvatura gaussiana K = κ ₁ κ ₂ y la curvatura media H = ( κ ₁ + κ ₂ )/2 se pueden calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2})}}.}$$

Estas magnitudes son independientes de la parametrización utilizada hasta cierto punto y, por lo tanto, constituyen herramientas importantes para analizar la geometría de la superficie. Más precisamente, las curvaturas principales y la curvatura media cambian de signo si se invierte la orientación de la superficie, y la curvatura gaussiana es totalmente independiente de la parametrización.

El signo de la curvatura gaussiana en un punto determina la forma de la superficie cerca de ese punto: para K > 0 la superficie es localmente convexa y el punto se llama elíptico , mientras que para K < 0 la superficie tiene forma de silla de montar y el punto se llama hiperbólico . Los puntos en los que la curvatura gaussiana es cero se llaman parabólicos . En general, los puntos parabólicos forman una curva en la superficie llamada línea parabólica . La primera forma fundamental es definida positiva , por lo tanto su determinante EG − F ² es positivo en todas partes. Por lo tanto, el signo de K coincide con el signo de LN − M ² , el determinante de la segunda fundamental.

Los coeficientes de la primera forma fundamental presentada anteriormente se pueden organizar en una matriz simétrica: Y lo mismo para los coeficientes de la segunda forma fundamental, también presentada anteriormente: $${\displaystyle F_{1}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}$$

Definiendo ahora la matriz , las curvaturas principales κ ₁ y κ ₂ son los valores propios de A . ^[1] ${\displaystyle A=F_{1}^{-1}F_{2}}$

Ahora bien, si v ₁ = ( v ₁₁ , v ₁₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₁ , el vector unitario en la dirección de se denomina vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₁ . ${\displaystyle \mathbf {t} _{1}=v_{11}\mathbf {r} _{u}+v_{12}\mathbf {r} _{v}}$

En consecuencia, si v ₂ = ( v ₂₁ , v ₂₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₂ , el vector unitario en la dirección de se denomina vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₂ . ${\displaystyle \mathbf {t} _{2}=v_{21}\mathbf {r} _{u}+v_{22}\mathbf {r} _{v}}$

Véase también

• Spline (matemáticas)
• Normal de superficie

Referencias

1. Curvaturas de superficie Material de apoyo, Curvaturas principales

Enlaces externos

• Los applets de Java demuestran la parametrización de una superficie helicoidal
• m-ART(3d) - Aplicación para iPad/iPhone para generar y visualizar superficies paramétricas.