La reducción dimensional es el límite de una teoría compactada donde el tamaño de la dimensión compacta llega a cero. En física , una teoría en D dimensiones espacio-temporales se puede redefinir en un número menor de dimensiones d , tomando todos los campos como independientes de la ubicación en las dimensiones D − d adicionales .
Por ejemplo, considere una dimensión compacta periódica con período L. Sea x la coordenada a lo largo de esta dimensión. Cualquier campo se puede describir como una suma de los siguientes términos:
con A n una constante. Según la mecánica cuántica , dicho término tiene impulso nh / L a lo largo de x , donde h es la constante de Planck . [1] Por lo tanto, cuando L llega a cero, el impulso llega al infinito, al igual que la energía , a menos que n = 0. Sin embargo, n = 0 da un campo que es constante con respecto a x . Por lo que en este límite, y con energía finita, no dependerá de x .
Este argumento se generaliza. La dimensión compacta impone condiciones de frontera específicas en todos los campos, por ejemplo, condiciones de frontera periódicas en el caso de una dimensión periódica y, típicamente, condiciones de frontera de Neumann o Dirichlet en otros casos. Ahora supongamos que el tamaño de la dimensión compacta es L ; entonces los posibles valores propios bajo gradiente a lo largo de esta dimensión son múltiplos enteros o semienteros de 1/ L (dependiendo de las condiciones de contorno precisas). En mecánica cuántica, este valor propio es el momento del campo y, por tanto, está relacionado con su energía. Como L → 0 todos los valores propios excepto cero van al infinito, al igual que la energía. Por lo tanto, en este límite, con energía finita, cero es el único valor propio posible bajo gradiente a lo largo de la dimensión compacta, lo que significa que nada depende de esta dimensión.
La reducción dimensional también se refiere a una cancelación específica de divergencias en los diagramas de Feynman. Fue propuesto por Amnon Aharony , Yoseph Imry y Shang-keng Ma , quienes demostraron en 1976 que "para todos los órdenes en la expansión de perturbaciones, los exponentes críticos en un sistema d -dimensional (4 < d < 6) con intercambio de corto alcance y un campo apagado aleatorio son los mismos que los de un sistema puro ( d –2)-dimensional". [2] Sus argumentos indicaron que "los diagramas de Feynman que dan el comportamiento singular principal para el caso aleatorio son idénticamente iguales, aparte de los factores combinatorios, a los diagramas de Feynman correspondientes para el caso puro en dos dimensiones menos". [3] Esta reducción dimensional fue investigada más a fondo en el contexto de la teoría supersimétrica de las ecuaciones diferenciales estocásticas de Langevin por Giorgio Parisi y Nicolas Sourlas [4] quienes "observaron que los diagramas más divergentes en el infrarrojo son aquellos con el número máximo de inserciones de fuentes aleatorias, y , si se descuidan los otros diagramas, nos queda una expansión esquemática para una teoría de campos clásica en presencia de fuentes aleatorias... Parisi y Sourlas explicaron esta reducción dimensional mediante una supersimetría oculta." [3]
