Medida de un círculo o dimensión del círculo ( griego : Κύκλου μέτρησις , Kuklou metrēsis ) [1] es un tratado que consta de tres proposiciones de Arquímedes , ca. 250 a. C. [2] [3] El tratado es sólo una fracción de lo que fue una obra más extensa. [4] [5]
La proposición uno dice: El área de cualquier círculo es igual a un triángulo rectángulo en el que uno de los lados alrededor del ángulo recto es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo. Cualquier círculo con una circunferencia c y un radio r tiene el mismo área que un triángulo rectángulo cuyos dos catetos son c y r . Esta proposición se demuestra por el método de agotamiento . [6]
La proposición dos afirma:
El área de un círculo es igual al cuadrado en su diámetro como 11 a 14.
Arquímedes no podría haber formulado esta proposición, ya que se basa en el resultado de la tercera proposición. [6]
La proposición tres establece:
La relación entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro es mayor pero menor que .
Esto se aproxima a lo que ahora llamamos la constante matemática π . Encontró estos límites en el valor de π inscribiendo y circunscribiendo un círculo con dos polígonos regulares similares de 96 lados . [7]
Esta proposición también contiene aproximaciones precisas a la raíz cuadrada de 3 (una mayor y otra menor) y otras raíces cuadradas no perfectas más grandes ; sin embargo, Arquímedes no da ninguna explicación de cómo encontró estos números. [5] Da los límites superior e inferior de √ 3 como1351/780> √ 3 >265/153. [6] Sin embargo, estos límites son familiares por el estudio de la ecuación de Pell y los convergentes de una fracción continua asociada , lo que lleva a mucha especulación sobre cuánto de esta teoría de números podría haber sido accesible a Arquímedes. La discusión sobre este enfoque se remonta al menos a Thomas Fantet de Lagny , FRS (compárese con la cronología del cálculo de π ) en 1723, pero fue tratado más explícitamente por Hieronymus Georg Zeuthen . A principios de la década de 1880, Friedrich Otto Hultsch (1833–1906) y Karl Heinrich Hunrath (n. 1847) observaron cómo los límites se podían encontrar rápidamente por medio de límites binomiales simples en raíces cuadradas cercanas a un cuadrado perfecto modelado a partir de los Elementos II.4 , 7; este método es el preferido por Thomas Little Heath . Aunque sólo se menciona una ruta hacia los límites, en realidad hay otras dos, lo que hace que los límites sean casi ineludibles sin importar cómo se trabaje el método. Pero los límites también pueden producirse mediante una construcción geométrica iterativa sugerida por el Stomachion de Arquímedes en el contexto del dodecágono regular. En este caso, la tarea es dar aproximaciones racionales a la tangente de π/12.
La
medida del círculo
fue escrita por Arquímedes (ca. 250 a. C.)
La mayoría de los relatos de las obras de Arquímedes asignan este escrito a una época relativamente tardía de su carrera. Pero esta opinión es consecuencia de un claro malentendido.
