Mecánica hamiltoniana

Formulación de la mecánica clásica utilizando momentos

Sir William Rowan Hamilton

En física , la mecánica hamiltoniana es una reformulación de la mecánica lagrangiana que surgió en 1833. Introducida por Sir William Rowan Hamilton , ^[1] la mecánica hamiltoniana reemplaza las velocidades (generalizadas) utilizadas en la mecánica lagrangiana con momentos (generalizados) . Ambas teorías proporcionan interpretaciones de la mecánica clásica y describen los mismos fenómenos físicos. ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

La mecánica hamiltoniana tiene una estrecha relación con la geometría (en particular, la geometría simpléctica y las estructuras de Poisson ) y sirve como vínculo entre la mecánica clásica y la cuántica .

Descripción general

Coordenadas del espacio de fase (pag,q) y hamiltonianoyo

Sea un sistema mecánico con espacio de configuración y lagrangiano suave Seleccione un sistema de coordenadas estándar en Las cantidades se denominan momentos . (También momentos generalizados , momentos conjugados y momentos canónicos ). Para un instante de tiempo la transformación de Legendre de se define como la función que se supone que tiene una inversa suave Para un sistema con grados de libertad, la mecánica lagrangiana define la función de energía ${\displaystyle (M,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.}$$

La transformada de Legendre de se convierte en una función conocida como hamiltoniano . El hamiltoniano satisface lo que implica que donde las velocidades se encuentran a partir de la ecuación (-dimensional) que, por suposición, es únicamente solucionable para ⁠ ⁠ . El par (-dimensional) se llama coordenadas del espacio de fase . (También coordenadas canónicas ). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$

De la ecuación de Euler-Lagrange a las ecuaciones de Hamilton

En coordenadas del espacio de fase , la ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$ ecuación de Euler-Lagrange ( -dimensional) se convierte en las ecuaciones de Hamilton en dimensiones ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}=0}$$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.}$

Prueba

El hamiltoniano es la transformada de Legendre del lagrangiano , por lo que se tiene ${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})={\boldsymbol {p}}{\boldsymbol {\dot {q}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {p}}&={\boldsymbol {\dot {q}}}\\\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}\end{aligned}},}$

Además, dado que las ecuaciones de Euler-Lagrange dan como resultado ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {p}}/\mathrm {d} t=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}.}$

Del principio de acción estacionaria a las ecuaciones de Hamilton

Sea el conjunto de trayectorias suaves para las cuales y La función de acción se define mediante donde ⁠ ⁠ , y (ver arriba). Una trayectoria es un punto estacionario de (y por lo tanto es una ecuación de movimiento) si y solo si la trayectoria en coordenadas del espacio de fases obedece las ecuaciones de Hamilton. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))}$

Interpretación física básica

Una interpretación sencilla de la mecánica hamiltoniana proviene de su aplicación a un sistema unidimensional que consiste en una partícula no relativista de masa m . El valor del hamiltoniano es la energía total del sistema, en este caso la suma de la energía cinética y potencial , tradicionalmente denotadas como T y V , respectivamente. Aquí p es el momento mv y q es la coordenada espacial. Entonces T es una función de p solamente, mientras que V es una función de q solamente (es decir, T y V son escleronómicas ). ${\displaystyle H(p,q)}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)}$$

En este ejemplo, la derivada temporal de q es la velocidad, por lo que la primera ecuación de Hamilton significa que la velocidad de la partícula es igual a la derivada de su energía cinética con respecto a su momento. La derivada temporal del momento p es igual a la fuerza newtoniana , por lo que la segunda ecuación de Hamilton significa que la fuerza es igual al gradiente negativo de energía potencial.

Ejemplo

Un péndulo esférico consiste en una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera . Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad . Las coordenadas esféricas se utilizan para describir la posición de la masa en términos de ( r , θ , φ ) , donde r es fijo, r = ℓ .

Péndulo esférico : ángulos y velocidades.

El lagrangiano para este sistema es ^[2] $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .}$$

Así, el hamiltoniano es donde y En términos de coordenadas y momentos, el hamiltoniano se lee Las ecuaciones de Hamilton dan la evolución temporal de las coordenadas y los momentos conjugados en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden, El momento ⁠ ⁠ , que corresponde al componente vertical del momento angular ⁠ ⁠ , es una constante de movimiento. Eso es una consecuencia de la simetría rotacional del sistema alrededor del eje vertical. Al estar ausente del hamiltoniano, el acimut es una coordenada cíclica , lo que implica la conservación de su momento conjugado. $${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L}$$ $${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}}$$ $${\displaystyle P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.}$$ $${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mg\ell \cos \theta {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle P_{\varphi }}$ ${\displaystyle L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Derivación de las ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton se pueden derivar mediante un cálculo con el lagrangiano ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ , posiciones generalizadas q ⁱ y velocidades generalizadas⋅qⁱ , donde⁠⁠ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$.^[3]Aquí trabajamosfuera de la capa, lo que significa que⁠⁠ ${\displaystyle q^{i}}$,⁠⁠ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$,⁠⁠ ${\displaystyle t}$son coordenadas independientes en el espacio de fases, no restringidas a seguir ninguna ecuación de movimiento (en particular,no es una derivada de⁠⁠). Ladiferencial totaldel lagrangiano es: Las coordenadas de momento generalizadas se definieron como⁠⁠, por lo que podemos reescribir la ecuación como: ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ ${\displaystyle q^{i}}$ $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$ ${\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}}$$

Después de reorganizar, se obtiene: $${\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

El término entre paréntesis en el lado izquierdo es simplemente el hamiltoniano definido anteriormente, por lo tanto: ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

También se puede calcular la diferencial total del hamiltoniano con respecto a las coordenadas ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ en lugar de ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , obteniéndose: ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Ahora podemos equiparar estas dos expresiones para ⁠ ⁠ ${\displaystyle d{\mathcal {H}}}$ , una en términos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ , la otra en términos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ : $${\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Dado que estos cálculos se realizan fuera de la capa, se pueden igualar los coeficientes respectivos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} q^{i}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} p_{i}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ en los dos lados: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .}$$

En el plano de capas, se sustituyen las funciones paramétricas que definen una trayectoria en el espacio de fases con velocidades , obedeciendo las ecuaciones de Lagrange : ${\displaystyle q^{i}=q^{i}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .}$$

Reorganizando y escribiendo en términos del on-shell obtenemos: ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(t)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .}$$

Por lo tanto, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a las ecuaciones de Hamilton: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.}$$

En el caso de independientes del tiempo y ⁠ ⁠ , es decir ⁠ ⁠ , las ecuaciones de Hamilton constan de 2 n ecuaciones diferenciales de primer orden , mientras que las ecuaciones de Lagrange constan de n ecuaciones de segundo orden. Las ecuaciones de Hamilton generalmente no reducen la dificultad de encontrar soluciones explícitas, pero se pueden derivar resultados teóricos importantes de ellas, porque las coordenadas y los momentos son variables independientes con roles casi simétricos. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0}$

Las ecuaciones de Hamilton tienen otra ventaja sobre las ecuaciones de Lagrange: si un sistema tiene una simetría, de modo que alguna coordenada no ocurre en el hamiltoniano (es decir, una coordenada cíclica ), la coordenada de momento correspondiente se conserva a lo largo de cada trayectoria, y esa coordenada se puede reducir a una constante en las otras ecuaciones del conjunto. Esto reduce efectivamente el problema de n coordenadas a ( n − 1) coordenadas: esta es la base de la reducción simpléctica en geometría. En el marco lagrangiano, la conservación del momento también se sigue inmediatamente, sin embargo, todas las velocidades generalizadas todavía ocurren en el lagrangiano, y aún se debe resolver un sistema de ecuaciones en n coordenadas. ^[4] ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$

Los enfoques lagrangiano y hamiltoniano proporcionan las bases para resultados más profundos en la mecánica clásica y sugieren formulaciones análogas en la mecánica cuántica : la formulación de la integral de trayectoria y la ecuación de Schrödinger .

Propiedades del hamiltoniano

• El valor del hamiltoniano es la energía total del sistema si y solo si la función de energía tiene la misma propiedad. (Ver definición de ⁠ ⁠ ). ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}}$cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ formar una solución de las ecuaciones de Hamilton.
  En efecto, todo, excepto el término final, se anula. ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$no cambia bajo transformaciones puntuales , es decir, cambios suaves de coordenadas espaciales. (Se deduce de la invariancia de la función de energía bajo transformaciones puntuales. La invariancia de se puede establecer directamente). ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.}$(Véase § Derivación de las ecuaciones de Hamilton ).
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle -{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}}$ . (Compare las ecuaciones de Hamilton y Euler-Lagrange o vea § Derivación de las ecuaciones de Hamilton ).
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0}$si y sólo si ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0}$ .
  Una coordenada para la cual se cumple la última ecuación se llama cíclica (o ignorable ). Cada coordenada cíclica reduce el número de grados de libertad en ⁠ ⁠ , hace que se conserve el momento correspondiente y hace que las ecuaciones de Hamilton sean más fáciles de resolver. ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Hamiltoniano como energía total del sistema

En su aplicación a un sistema dado, el hamiltoniano se considera a menudo como $${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$$

donde es la energía cinética y es la energía potencial. Usar esta relación puede ser más sencillo que calcular primero el lagrangiano y luego derivar el hamiltoniano a partir del lagrangiano. Sin embargo, la relación no es válida para todos los sistemas. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

La relación es válida para sistemas no relativistas cuando se cumplen todas las condiciones siguientes: ^{[5] [6]} $${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$ $${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}$$

donde es el tiempo, es el número de grados de libertad del sistema y cada uno es una función escalar arbitraria de . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

En palabras, esto significa que la relación es verdadera si no contiene el tiempo como variable explícita (es escleronómica ), no contiene la velocidad generalizada como variable explícita y cada término de es cuadrático en la velocidad generalizada. ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

Prueba

Previo a esta prueba, es importante abordar una ambigüedad en la notación matemática relacionada. Si bien se puede utilizar un cambio de variables para igualar , es importante notar que . En este caso, el lado derecho siempre evalúa a 0. Para realizar un cambio de variables dentro de una derivada parcial, se debe utilizar la regla de la cadena multivariable . Por lo tanto, para evitar la ambigüedad, se deben indicar los argumentos de la función de cualquier término dentro de una derivada parcial. ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\neq {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

Además, esta prueba utiliza la notación para implicar que . ${\displaystyle f(a,b,c)=f(a,b)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f(a,b,c)}{\partial c}}=0}$

Prueba

A partir de las definiciones de Hamiltoniano, momentos generalizados y Lagrangiano para un sistema de grados de libertad ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}p_{i}{\dot {q}}_{i}{\biggr )}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$ $${\displaystyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$

Sustituyendo los momentos generalizados en el hamiltoniano se obtiene $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$

Sustituyendo el lagrangiano en el resultado se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-\left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)+V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\end{aligned}}}$$

Ahora supongamos que $${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}$$

y también asumir que $${\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$

La aplicación de estos supuestos da como resultado $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}}$$

Supongamos a continuación que T tiene la forma $${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}$$

donde cada uno es una función escalar arbitraria de . ${\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

Diferenciando esto con respecto a , , se obtiene ${\displaystyle {\dot {q}}_{l}}$ ${\displaystyle l\in [1,n]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial \left[c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\end{aligned}}}$$

Dividiendo la suma, evaluando la derivada parcial y volviendo a unir la suma obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}^{2}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}\\&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}0{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}+2c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}}$$

Sumando (esto multiplicado por ) se obtiene como resultado ${\displaystyle {\dot {q}}_{l}}$ ${\displaystyle l}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\dot {q}}_{l}\right)&=\sum _{l=1}^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\right){\dot {q}}_{l}\right)\\&=\sum _{l=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\end{aligned}}}$$

Esta simplificación es resultado del teorema de la función homogénea de Euler .

Por lo tanto, el hamiltoniano se convierte en $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}}$$

Aplicación a sistemas de masas puntuales

Para un sistema de masas puntuales, el requisito de ser cuadrático en velocidad generalizada siempre se satisface para el caso donde , lo cual es un requisito de todos modos. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$

Prueba

Considere la energía cinética para un sistema de N masas puntuales. Si se supone que , entonces se puede demostrar que (Ver Scleronomous § Aplicación ). Por lo tanto, la energía cinética es ${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ $${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\biggl (}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}){\biggr )}}$$

La regla de la cadena para muchas variables se puede utilizar para expandir la velocidad. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {d\mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{dt}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\end{aligned}}}$$

Resultando en $${\displaystyle {\begin{aligned}T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(m_{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}}$$

Este es el formato requerido.

Conservación de energía

Si se cumplen las condiciones para , entonces la conservación del hamiltoniano implica la conservación de la energía. Esto requiere la condición adicional de que no contenga el tiempo como variable explícita. ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$

Con respecto a la formulación extendida de Euler-Lagrange (véase Mecánica lagrangiana § Extensiones para incluir fuerzas no conservativas ), la función de disipación de Rayleigh representa la disipación de energía por naturaleza. Por lo tanto, la energía no se conserva cuando . Esto es similar al potencial dependiente de la velocidad. ${\displaystyle R\neq 0}$

En resumen, los requisitos que debe satisfacer un sistema no relativista son ^{[5] [6]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V={\text{constant of time}}}$

1. ${\displaystyle V=V({\boldsymbol {q}})}$
2. ${\displaystyle T=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$
3. ${\displaystyle T}$es una función cuadrática homogénea en ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}$

Hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético

Una ilustración suficiente de la mecánica hamiltoniana la da el hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético . En coordenadas cartesianas, el lagrangiano de una partícula clásica no relativista en un campo electromagnético es (en unidades SI ): donde q es la carga eléctrica de la partícula, φ es el potencial escalar eléctrico y A _i son los componentes del potencial vectorial magnético que pueden depender todos explícitamente de y ⁠ ⁠ . $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,}$$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Este lagrangiano, combinado con la ecuación de Euler-Lagrange , produce la ley de fuerza de Lorentz y se denomina acoplamiento mínimo . $${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$$

Los momentos canónicos vienen dados por: $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.}$$

El hamiltoniano, como transformación de Legendre del lagrangiano, es por tanto: $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .}$$

Esta ecuación se utiliza con frecuencia en la mecánica cuántica .

Transformación de calibre : donde f ( r , t ) es cualquier función escalar del espacio y el tiempo. La transformación de Lagrangian, los momentos canónicos y la transformación de Hamilton son como: que todavía produce la misma ecuación de Hamilton: $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$$ $${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$$

En mecánica cuántica, la función de onda también experimentará una transformación de grupo local U(1) ^[7] durante la Transformación de Gauge, lo que implica que todos los resultados físicos deben ser invariantes bajo transformaciones locales U(1).

Partícula cargada relativista en un campo electromagnético

El lagrangiano relativista para una partícula ( masa en reposo y carga ) viene dado por: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$$

Por lo tanto, el momento canónico de la partícula es , es decir, la suma del momento cinético y el momento potencial. $${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$$

Resolviendo la velocidad, obtenemos $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$$

Así que el hamiltoniano es $${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$$

Esto da como resultado la ecuación de fuerza (equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange ) de la que se puede derivar $${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$$

La derivación anterior hace uso de la identidad del cálculo vectorial : $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

Una expresión equivalente para el hamiltoniano en función del momento relativista (cinético), ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$ , es $${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$$

Esto tiene la ventaja de que el momento cinético se puede medir experimentalmente, mientras que el momento canónico no. Nótese que el hamiltoniano ( energía total ) se puede ver como la suma de la energía relativista (cinética+reposo) , ⁠ ⁠ , más la energía potencial , ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ ${\displaystyle V=q\varphi }$

De la geometría simpléctica a las ecuaciones de Hamilton

Geometría de los sistemas hamiltonianos

El hamiltoniano puede inducir una estructura simpléctica en una variedad par-dimensional suave M ^{2 n} de varias maneras equivalentes, siendo las más conocidas las siguientes: ^[8]

Como una 2-forma simpléctica no degenerada cerrada ω . Según el teorema de Darboux , en un pequeño entorno alrededor de cualquier punto de M existen coordenadas locales adecuadas ( coordenadas canónicas o simplécticas ) en las que la forma simpléctica se convierte en: La forma induce un isomorfismo natural del espacio tangente con el espacio cotangente : ⁠ ⁠ . Esto se hace mediante la aplicación de un vector a la 1-forma ⁠ ⁠ , donde para todo ⁠ ⁠ . Debido a la bilinealidad y no degeneración de ⁠ ⁠ , y al hecho de que ⁠ ⁠ , la aplicación es de hecho un isomorfismo lineal . Este isomorfismo es natural en el sentido de que no cambia con el cambio de coordenadas en Repitiendo sobre todo ⁠ ⁠ , terminamos con un isomorfismo entre el espacio de dimensión infinita de campos vectoriales suaves y el de 1-formas suaves. Para cada y ⁠ ⁠ ,   ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}$ $${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$ ${\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )}$ ${\displaystyle \eta \in T_{x}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M)}$ $${\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}$$

(En términos algebraicos, se diría que los módulos y son isomorfos). Si ⁠ ⁠ , entonces, para cada ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ . se conoce como un campo vectorial hamiltoniano . La ecuación diferencial respectiva en se llama ecuación de Hamilton . Aquí y es el valor (dependiente del tiempo) del campo vectorial en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t}}$ ${\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M)}$ ${\displaystyle J(dH)}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}$$ ${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}$ ${\displaystyle J(dH)}$ ${\displaystyle x\in M}$

Un sistema hamiltoniano puede entenderse como un fibrado E sobre el tiempo R , siendo la fibra E _t el espacio de posición en el tiempo t ∈ R . El lagrangiano es, por tanto, una función sobre el fibrado de chorro J sobre E ; tomando la transformada de Legendre por fibra del lagrangiano se obtiene una función sobre el fibrado dual sobre el tiempo cuya fibra en t es el espacio cotangente T ^∗ E _t , que viene equipada con una forma simpléctica natural , y esta última función es el hamiltoniano. La correspondencia entre la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana se consigue con la forma única tautológica .

Cualquier función H de valor real suave en una variedad simpléctica se puede utilizar para definir un sistema hamiltoniano . La función H se conoce como "el hamiltoniano" o "la función de energía". La variedad simpléctica se denomina entonces espacio de fases . El hamiltoniano induce un campo vectorial especial en la variedad simpléctica, conocido como campo vectorial hamiltoniano .

El campo vectorial hamiltoniano induce un flujo hamiltoniano en la variedad. Se trata de una familia de transformaciones de la variedad con un parámetro (el parámetro de las curvas se denomina comúnmente "el tiempo"); en otras palabras, una isotopía de simplectomorfismos , comenzando por la identidad. Por el teorema de Liouville , cada simplectomorfismo conserva la forma de volumen en el espacio de fases . La colección de simplectomorfismos inducidos por el flujo hamiltoniano se denomina comúnmente "la mecánica hamiltoniana" del sistema hamiltoniano.

La estructura simpléctica induce un corchete de Poisson . El corchete de Poisson da al espacio de funciones de la variedad la estructura de un álgebra de Lie .

Si F y G son funciones suaves en M, entonces la función suave ω ( J ( dF ), J ( dG )) está correctamente definida; se llama corchete de Poisson de las funciones F y G y se denota { F , G } . El corchete de Poisson tiene las siguientes propiedades:

1. bilinealidad
2. antisimetría
3. Regla de Leibniz : ${\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}$
4. Identidad de Jacobi : ${\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}$
5. no degeneración: si el punto x en M no es crítico para F entonces existe una función suave G tal que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}$ .

Dada una función f si hay una distribución de probabilidad ρ , entonces (ya que la velocidad del espacio de fase tiene divergencia cero y la probabilidad se conserva) se puede demostrar que su derivada convectiva es cero y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}$$ ${\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}$$

Esto se llama teorema de Liouville . Toda función suave G sobre la variedad simpléctica genera una familia de simplectomorfismos de un parámetro y si { G , H } = 0 , entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetría .

Un hamiltoniano puede tener múltiples cantidades conservadas G _i . Si la variedad simpléctica tiene dimensión 2 n y hay n cantidades conservadas funcionalmente independientes G _i que están en involución (es decir, { G _i , G _j } = 0 ), entonces el hamiltoniano es integrable de Liouville . El teorema de Liouville-Arnold dice que, localmente, cualquier hamiltoniano integrable de Liouville puede transformarse mediante un simplectomorfismo en un nuevo hamiltoniano con las cantidades conservadas G _i como coordenadas; las nuevas coordenadas se denominan coordenadas de acción-ángulo . El hamiltoniano transformado depende solo de G _i , y por lo tanto las ecuaciones de movimiento tienen la forma simple para alguna función F . ^[9] Existe todo un campo centrado en pequeñas desviaciones de sistemas integrables gobernados por el teorema KAM . $${\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}$$

La integrabilidad de los campos vectoriales hamiltonianos es una cuestión abierta. En general, los sistemas hamiltonianos son caóticos ; los conceptos de medida, completitud, integrabilidad y estabilidad están mal definidos.

Variedades de Riemann

Un caso especial importante consiste en aquellos hamiltonianos que son formas cuadráticas , es decir, hamiltonianos que pueden escribirse como donde ⟨ , ⟩ _q es un producto interno que varía suavemente en las fibras T $${\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}$$ ^*
_qQ , el espacio cotangente al punto q en el espacio de configuración , a veces llamado cotangente. Este hamiltoniano consta enteramente del término cinético .

Si se considera una variedad riemanniana o una variedad pseudoriemanniana , la métrica riemanniana induce un isomorfismo lineal entre los fibrados tangente y cotangente (véase Isomorfismo musical ). Utilizando este isomorfismo, se puede definir una métrica cométrica (en coordenadas, la matriz que define la métrica cométrica es la inversa de la matriz que define la métrica). Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para esta métrica hamiltoniana son entonces las mismas que las geodésicas de la variedad. En particular, el flujo hamiltoniano en este caso es lo mismo que el flujo geodésico . La existencia de tales soluciones y la completitud del conjunto de soluciones se analizan en detalle en el artículo sobre geodésicas . Véase también Geodésicas como flujos hamiltonianos .

Variedades subriemannianas

Cuando la cómetra es degenerada, entonces no es invertible. En este caso, no se tiene una variedad de Riemann, ya que no se tiene una métrica. Sin embargo, el hamiltoniano sigue existiendo. En el caso en que la cómetra es degenerada en cada punto q de la variedad del espacio de configuración Q , de modo que el rango de la cómetra es menor que la dimensión de la variedad Q , se tiene una variedad sub-riemanniana .

El hamiltoniano en este caso se conoce como hamiltoniano subriemanniano . Cada uno de estos hamiltonianos determina de forma única la cométrica, y viceversa. Esto implica que cada variedad subriemanniana está determinada de forma única por su hamiltoniano subriemanniano, y que lo inverso es cierto: cada variedad subriemanniana tiene un hamiltoniano subriemanniano único. La existencia de geodésicas subriemannianas está dada por el teorema de Chow-Rashevskii .

El grupo de Heisenberg continuo y de valor real proporciona un ejemplo simple de variedad subriemanniana. Para el grupo de Heisenberg, el hamiltoniano viene dado por p _z no está involucrado en el hamiltoniano. $${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).}$$

Álgebras de Poisson

Los sistemas hamiltonianos se pueden generalizar de varias maneras. En lugar de simplemente observar el álgebra de funciones suaves sobre una variedad simpléctica , la mecánica hamiltoniana se puede formular sobre álgebras de Poisson reales unitarias conmutativas generales . Un estado es una función lineal continua en el álgebra de Poisson (equipada con alguna topología adecuada ) tal que para cualquier elemento A del álgebra, A ² se asigna a un número real no negativo.

Una generalización adicional la da la dinámica de Nambu .

Generalización a la mecánica cuántica mediante corchete de Poisson

Las ecuaciones de Hamilton anteriores funcionan bien para la mecánica clásica , pero no para la mecánica cuántica , ya que las ecuaciones diferenciales analizadas suponen que se puede especificar la posición exacta y el momento de la partícula simultáneamente en cualquier punto del tiempo. Sin embargo, las ecuaciones se pueden generalizar aún más para luego extenderlas y aplicarlas a la mecánica cuántica, así como a la mecánica clásica, a través de la deformación del álgebra de Poisson sobre p y q al álgebra de corchetes de Moyal .

En concreto, la forma más general de la ecuación de Hamilton se lee donde f es alguna función de p y q , y H es el hamiltoniano. Para conocer las reglas para evaluar un corchete de Poisson sin recurrir a ecuaciones diferenciales, véase Álgebra de Lie ; un corchete de Poisson es el nombre del corchete de Lie en un álgebra de Poisson . Estos corchetes de Poisson pueden extenderse a corchetes de Moyal que se comportan con un álgebra de Lie no equivalente, como lo demostró Hilbrand J. Groenewold , y de ese modo describir la difusión mecánica cuántica en el espacio de fases (véase Formulación del espacio de fases y transformada de Wigner-Weyl ). Este enfoque más algebraico no solo permite extender en última instancia las distribuciones de probabilidad en el espacio de fases a distribuciones de cuasi-probabilidad de Wigner , sino que, en el mero entorno clásico del corchete de Poisson, también proporciona más poder para ayudar a analizar las cantidades conservadas relevantes en un sistema. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}},}$$

Véase también

• Transformación canónica
• Teoría clásica de campos
• Teoría de campos hamiltoniana
• Teoría de campos hamiltonianos covariantes
• Mecánica clásica
• Teoría de sistemas dinámicos
• Sistema hamiltoniano
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein
• Mecánica lagrangiana
• Ecuaciones de Maxwell
• Hamiltoniano (mecánica cuántica)
• Ecuaciones cuánticas de Hamilton
• Teoría cuántica de campos
• Óptica hamiltoniana
• Teoría de De Donder-Weyl
• Mecánica geométrica
• Mecánica de Routh
• Mecánica de Nambu
• Mecánica de fluidos hamiltoniana
• Campo vectorial hamiltoniano

Referencias

1. Hamilton, William Rowan, Sir (1833). Sobre un método general para expresar las trayectorias de la luz y de los planetas mediante los coeficientes de una función característica. Impreso por PD Hardy. OCLC  68159539.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Landau y Lifshitz 1976, págs. 33-34
3. Esta derivación sigue los lineamientos dados en Arnol'd 1989, pp. 65-66
4. Goldstein, Poole y Safko 2002, págs. 347-349
5. Malham 2016, págs. 49-50
6. Landau y Lifshitz 1976, pág. 14
7. Zinn-Justin, Jean; Guida, Ricardo (4 de diciembre de 2008). "Invariancia de calibre". Scholarpedia . 3 (12): 8287. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.
8. Arnol'd, Kozlov y Neĩshtadt 1988, §3. Mecánica hamiltoniana.
9. Arnold'd, Kozlov y Neĩshtadt 1988

Lectura adicional

• Landau, Lev Davidovich ; Lifshitz, Evgenii Mikhailovich (1976). Mecánica. Curso de física teórica . Vol. 1. Sykes, JB (John Bradbury), Bell, JS (3.ª ed.). Oxford. ISBN 0-08-021022-8.OCLC 2591126  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Abraham, R. ; Marsden, JE (1978). Fundamentos de mecánica (2.ª ed., rev., enl. y ed. reestablecida). Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-0102-X.OCLC 3516353  .
• Arnold, VI ; Kozlov, VV; Neĩshtadt, AI (1988). "Aspectos matemáticos de la mecánica clásica y celeste". Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, Sistemas Dinámicos III. vol. 3. Anosov, DV Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2.OCLC 16404140  .
• Arnol'd, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3.OCLC 18681352  .
• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Mecánica clásica (3.ª ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0.OCLC 47056311  .
• Vinogradov, AM ; Kupershmidt, BA (1977-08-31). "La estructura de la mecánica hamiltoniana". Encuestas matemáticas rusas . 32 (4): 177–243. Bibcode :1977RuMaS..32..177V. doi :10.1070/RM1977v032n04ABEH001642. ISSN  0036-0279. S2CID  250805957.

Enlaces externos

• Binney, James J. , Mecánica clásica (notas de clase) (PDF) , Universidad de Oxford , consultado el 27 de octubre de 2010
• Tong, David , Dinámica clásica (notas de clase de Cambridge), Universidad de Cambridge , consultado el 27 de octubre de 2010
• Hamilton, William Rowan , Sobre un método general en dinámica, Trinity College Dublin
• Malham, Simon JA (2016), Introducción a la mecánica lagrangiana y hamiltoniana (apuntes de clase) (PDF)
• Morin, David (2008), Introducción a la mecánica clásica (Material adicional: El método hamiltoniano) (PDF)