Interpolación de Birkhoff

En matemáticas , la interpolación de Birkhoff es una extensión de la interpolación polinómica . Se refiere al problema de encontrar un polinomio de grado tal que solo ciertas derivadas tengan valores específicos en puntos específicos: ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle P^{(n_{i})}(x_{i})=y_{i}\qquad {\mbox{for }}i=1,\ldots ,d,}$

donde se dan los puntos de datos y los números enteros no negativos . Se diferencia de la interpolación de Hermite en que es posible especificar derivadas de en algunos puntos sin especificar las derivadas inferiores o el polinomio en sí. El nombre hace referencia a George David Birkhoff , quien estudió el problema por primera vez en 1906. ^[1] ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle P(x)}$

Existencia y unicidad de soluciones

A diferencia de la interpolación de Lagrange y la interpolación de Hermite , un problema de interpolación de Birkhoff no siempre tiene una solución única. Por ejemplo, no existe ningún polinomio cuadrático tal que y . Por otro lado, el problema de interpolación de Birkhoff donde se dan los valores de y siempre tiene una solución única. ^[2] ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(-1)=P(1)=0}$ ${\displaystyle P^{(1)}(0)=1}$ ${\displaystyle P^{(1)}(-1),P(0)}$ ${\displaystyle P^{(1)}(1)}$

Un problema importante en la teoría de la interpolación de Birkhoff es clasificar aquellos problemas que tienen una solución única. Schoenberg ^[3] formula el problema de la siguiente manera. Sea el número de condiciones (como se indicó anteriormente) y sea el número de puntos de interpolación. Dada una matriz , todas cuyas entradas son o , de manera que exactamente las entradas son , entonces el problema correspondiente es determinar de manera que ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d\times k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle P^{(j)}(x_{i})=y_{i,j}\qquad \forall (i,j)/e_{ij}=1}$

La matriz se denomina matriz de incidencia . Por ejemplo, las matrices de incidencia para los problemas de interpolación mencionados en el párrafo anterior son: ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {and} \qquad {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Ahora la pregunta es: ¿Un problema de interpolación de Birkhoff con una matriz de incidencia dada tiene una solución única para cualquier elección de puntos de interpolación? ${\displaystyle E}$

El caso de los puntos de interpolación fue abordado por George Pólya en 1931. ^[4] Sea la suma de las entradas en las primeras columnas de la matriz de incidencia: ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle S_{m}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{m}e_{ij}.}$

Entonces, el problema de interpolación de Birkhoff con tiene una solución única si y solo si . Schoenberg demostró que esta es una condición necesaria para todos los valores de . ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle S_{m}\geqslant m\quad \forall m}$ ${\displaystyle k}$

Algunos ejemplos

Consideremos una función diferenciable en , tal que . Veamos que no existe ningún polinomio cuadrático de interpolación de Birkhoff tal que donde : Puesto que , se puede escribir el polinomio como ( completando el cuadrado ) donde son simplemente los coeficientes de interpolación. La derivada del polinomio de interpolación está dada por . Esto implica , sin embargo esto es absurdo, ya que no es necesariamente . La matriz de incidencia está dada por: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle P^{(1)}(c)=f^{(1)}(c)}$ ${\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle P(x)=A(x-c)^{2}+B}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle P^{(1)}(x)=2A(x-c)^{2}}$ ${\displaystyle P^{(1)}(c)=0}$ ${\displaystyle f^{(1)}(c)}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}_{3\times 3}}$

Consideremos una función diferenciable en , y denotemos con . Veamos que efectivamente existe un polinomio cuadrático de interpolación de Birkhoff tal que y . Construyamos el polinomio de interpolación de en los nodos , tal que . Por lo tanto, el polinomio : es el polinomio de interpolación de Birkhoff. La matriz de incidencia está dada por: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x_{0}=a,x_{2}=b}$ ${\displaystyle x_{1}\in [a,b]}$ ${\displaystyle P(x_{1})=f(x_{1})}$ ${\displaystyle P^{(1)}(x_{0})=f^{(1)}(x_{0}),P^{(1)}(x_{2})=f^{(1)}(x_{2})}$ ${\displaystyle f^{(1)}(x)}$ ${\displaystyle x_{0},x_{2}}$ ${\displaystyle \displaystyle P_{1}(x)={\frac {f^{(1)}(x_{2})-f^{(1)}(x_{0})}{x_{2}-x_{0}}}(x-x_{0})+f^{(1)}(x_{0})}$ ${\displaystyle \displaystyle P_{2}(x)=f(x_{1})+\int _{x_{1}}^{x}\!P_{1}(t)\;\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}_{3\times 3}}$

Dado un número natural , y una función diferenciable en , ¿existe un polinomio tal que: y para con ? Construya el polinomio de Lagrange/Newton (mismo polinomio de interpolación, diferente forma de calcularlos y expresarlos) que satisfaga para , entonces el polinomio es el polinomio de interpolación de Birkhoff que satisface las condiciones anteriores. La matriz de incidencia está dada por: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P(x_{0})=f(x_{0})}$ ${\displaystyle P^{(1)}(x_{i})=f^{(1)}(x_{i})}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\cdots ,x_{N}\in [a,b]}$ ${\displaystyle P_{N-1}(x)}$ ${\displaystyle P_{N-1}(x_{i})=f^{(1)}(x_{i})}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle \displaystyle P_{N}(x)=f(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x}\!P_{N-1}(t)\;\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}_{N\times N}}$

Dado un número natural , y una función diferenciable en , ¿existe un polinomio tal que: y para ? Construya como el polinomio de interpolación de en y , tal que . Defina entonces itera . Entonces es el polinomio de interpolación de Birkhoff. La matriz de incidencia está dada por: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)}$ ${\displaystyle P^{(k)}(b)=f^{(k)}(b)}$ ${\displaystyle k=0,2,\cdots ,2N}$ ${\displaystyle P_{1}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle P_{1}(x)={\frac {f^{(2N)}(b)-f^{(2N)}(a)}{b-a}}(x-a)+f^{(2N)}(a)}$ ${\displaystyle \displaystyle P_{k+2}(x)={\frac {f^{(2N-2k)}(b)-f^{(2N-2k)}(a)}{b-a}}(x-a)+f^{(2N-2k)}(a)+\int _{a}^{x}\!\int _{a}^{t}\!P_{k}(s)\;\mathrm {d} s\;\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle P_{2N+1}(x)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&1&0\cdots \\1&0&1&0\cdots \\\end{pmatrix}}_{2\times N}}$

Referencias

1. Birkhoff, George David (1906). "Teoremas generales del valor medio y del resto con aplicaciones a la diferenciación mecánica y la cuadratura". Transactions of the American Mathematical Society . 7 (1): 107–136. doi : 10.1090/S0002-9947-1906-1500736-1 . ISSN  0002-9947.
2. "Sociedad Americana de Matemáticas". Sociedad Americana de Matemáticas . Consultado el 19 de mayo de 2022 .
3. Schoenberg, I. J (1966-12-01). "Sobre la interpolación de Hermite-Birkhoff". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 16 (3): 538–543. doi : 10.1016/0022-247X(66)90160-0 . ISSN  0022-247X.
4. Pólya, G. (1931). "Bemerkung zur Interpolation und zur Näherungstheorie der Balkenbiegung". ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (en alemán). 11 (6): 445–449. doi :10.1002/zamm.19310110620.