La identidad de Hermite.

Da el valor de una suma que involucra la función piso.

En matemáticas , la identidad de Hermite , que lleva el nombre de Charles Hermite , da el valor de una suma que involucra la función suelo . Afirma que para todo número real x y para todo entero positivo n se cumple la siguiente identidad : ^{[1] [2]}

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .}$

Pruebas

Prueba por manipulación algebraica

Dividir en su parte entera y parte fraccionaria , . Hay exactamente uno con ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=\lfloor x\rfloor +\{x\}}$ ${\displaystyle k'\in \{1,\ldots ,n\}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\left\lfloor x+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor +1.}$

Al restar el mismo número entero dentro de las operaciones mínimas en los lados izquierdo y derecho de esta desigualdad, se puede reescribir como ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle 0=\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq \{x\}<\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =1.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle 1-{\frac {k'}{n}}\leq \{x\}<1-{\frac {k'-1}{n}},}$

y multiplicando ambos lados por da ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n-k'\leq n\,\{x\}<n-k'+1.}$

Ahora bien, si la suma de la identidad de Hermite se divide en dos partes en el índice , se convierte en ${\displaystyle k'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor &=\sum _{k=0}^{k'-1}\lfloor x\rfloor +\sum _{k=k'}^{n-1}(\lfloor x\rfloor +1)=n\,\lfloor x\rfloor +n-k'\\[8pt]&=n\,\lfloor x\rfloor +\lfloor n\,\{x\}\rfloor =\left\lfloor n\,\lfloor x\rfloor +n\,\{x\}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .\end{aligned}}}$

Prueba usando funciones

Considere la función

${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{n}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor x+{\frac {n-1}{n}}\right\rfloor -\lfloor nx\rfloor }$

Entonces la identidad es claramente equivalente al enunciado para todo real . Pero luego encontramos, ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f\left(x+{\frac {1}{n}}\right)=\left\lfloor x+{\frac {1}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {2}{n}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor x+1\right\rfloor -\lfloor nx+1\rfloor =f(x)}$

Donde en la última igualdad usamos el hecho de que para todos los números enteros . Pero luego tiene punto . Entonces basta con demostrarlo para todos . Pero en este caso, la parte integral de cada sumando es igual a 0. Deducimos que la función es efectivamente 0 para todas las entradas reales . ${\displaystyle \lfloor x+p\rfloor =\lfloor x\rfloor +p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\in [0,1/n)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Referencias

1. Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2003), "12 La identidad de Hermite", Miniaturas matemáticas , Nueva biblioteca matemática, vol. 43, Asociación Matemática de América , págs. 41–44, ISBN 9780883856451.
2. Matsuoka, Yoshio (1964), "Notas en el aula: sobre una prueba de la identidad de Hermite", The American Mathematical Monthly , 71 (10): 1115, doi :10.2307/2311413, JSTOR  2311413, MR  1533020.