En matemáticas, la geometría estocástica es el estudio de patrones espaciales aleatorios. En el centro del tema se encuentra el estudio de patrones de puntos aleatorios. Esto conduce a la teoría de los procesos puntuales espaciales , de ahí las nociones de condicionamiento de Palm, que se extienden al escenario más abstracto de medidas aleatorias .
Existen varios modelos para procesos puntuales, que generalmente se basan en el clásico proceso homogéneo de puntos de Poisson (el modelo básico para la aleatoriedad espacial completa ), pero van más allá, para encontrar modelos expresivos que permitan métodos estadísticos efectivos.
La teoría de patrones de puntos proporciona un componente importante para la generación de procesos de objetos aleatorios, permitiendo la construcción de patrones espaciales aleatorios elaborados. La versión más simple, el modelo booleano , coloca un objeto compacto aleatorio en cada punto de un proceso de puntos de Poisson. Las versiones más complejas permiten interacciones basadas de diversas formas en la geometría de los objetos. Las diferentes direcciones de aplicación incluyen: la producción de modelos para imágenes aleatorias, ya sea como unión de objetos o como patrones de objetos superpuestos; también la generación de modelos inspirados geométricamente para el proceso puntual subyacente (por ejemplo, la distribución del patrón de puntos puede estar sesgada por un factor exponencial que involucra el área de unión de los objetos; esto está relacionado con el modelo Widom-Rowlinson [1] de mecánica estadística).
¿Qué se entiende por objeto aleatorio? Una respuesta completa a esta pregunta requiere de la teoría de conjuntos cerrados aleatorios , que toma contacto con conceptos avanzados de la teoría de la medida. La idea clave es centrarse en las probabilidades de que el conjunto cerrado aleatorio dado alcance conjuntos de prueba específicos. Surgen cuestiones de inferencia (por ejemplo, estimar el conjunto que encierra un patrón de puntos dado) y teorías de generalizaciones de medias, etc., para aplicar a conjuntos aleatorios. Ahora se están estableciendo conexiones entre este último trabajo y desarrollos recientes en el análisis matemático geométrico relacionado con los espacios métricos generales y su geometría. Unas buenas parametrizaciones de conjuntos aleatorios específicos pueden permitirnos referir los procesos de objetos aleatorios a la teoría de los procesos de puntos marcados; Los pares objeto-punto se ven como puntos en un espacio de producto más grande formado como el producto del espacio original y el espacio de parametrización.
Supongamos que ya no nos preocupan los objetos compactos, sino los objetos que están espacialmente extendidos: líneas en el plano o planos en el espacio tridimensional. Esto lleva a considerar procesos de línea y procesos de pisos o hiperplanos. Ya no puede haber una ubicación espacial preferida para cada objeto; sin embargo, la teoría se puede trasladar a la teoría del proceso puntual representando cada objeto mediante un punto en un espacio de representación adecuado. Por ejemplo, en el caso de líneas dirigidas en el plano, se puede tomar el espacio de representación como un cilindro. Una complicación es que las simetrías del movimiento euclidiano se expresarán en el espacio de representación de una manera algo inusual. Además, los cálculos deben tener en cuenta sesgos espaciales interesantes (por ejemplo, es menos probable que los segmentos de línea sean golpeados por líneas aleatorias a las que son casi paralelas) y esto proporciona una conexión interesante y significativa con el área enormemente importante de la estereología , que en algunos aspectos puede verse como otro tema más de la geometría estocástica. A menudo ocurre que los cálculos se realizan mejor en términos de conjuntos de líneas que alcanzan varios conjuntos de prueba, en lugar de trabajar en el espacio de representación.
Los procesos lineales e hiperplanos tienen sus propias aplicaciones directas, pero también encuentran aplicación como una forma de crear teselaciones que dividen el espacio; de ahí que, por ejemplo, se pueda hablar de teselaciones de líneas de Poisson. Un resultado reciente notable [2] demuestra que la celda en el origen de la teselación de líneas de Poisson es aproximadamente circular cuando se acondiciona para que sea grande. Por supuesto, las teselaciones en geometría estocástica se pueden producir por otros medios, por ejemplo utilizando Voronoi y construcciones variantes, y también iterando varios medios de construcción.
El nombre parece haber sido acuñado por David Kendall y Klaus Krickeberg [3] mientras se preparaban para un taller en Oberwolfach en junio de 1969 , aunque los antecedentes de la teoría se remontan mucho más atrás bajo el nombre de probabilidad geométrica . El término "geometría estocástica" también fue utilizado por Frisch y Hammersley en 1963 [4] como una de las dos sugerencias de nombres para una teoría de "estructuras irregulares aleatorias" inspirada en la teoría de la percolación .
Esta breve descripción se ha centrado en la teoría [3] [5] de la geometría estocástica, la cual permite una visión de la estructura del tema. Sin embargo, gran parte de la vida y el interés del tema, y de hecho muchas de sus ideas originales, surgen de una gama muy amplia de aplicaciones, por ejemplo: astronomía, [6] telecomunicaciones distribuidas espacialmente , [7] modelado y análisis de redes inalámbricas, [8] modelado del desvanecimiento de canales , [9] [10] silvicultura, [11] teoría estadística de la forma, [12] ciencia de los materiales, [13] análisis multivariado , problemas en el análisis de imágenes [14] y estereología . Hay vínculos con la mecánica estadística, [15] la cadena de Markov Monte Carlo e implementaciones de la teoría en informática estadística (por ejemplo, spatstat [16] en R ). Más recientemente, los procesos puntuales determinantes y permanentes (conectados con la teoría de matrices aleatorias) están comenzando a desempeñar un papel. [17]