gavilla cotangente

En geometría algebraica, dado un morfismo f : X → S de esquemas, el haz cotangente en X es el haz de -módulos ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ que representa (o clasifica) S - derivaciones ^[1] en el sentido: para cualquier -módulo F , hay un isomorfismo ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X/S},F)=\operatorname {Der} _{S}({\mathcal {O}}_{X},F)}$

eso depende naturalmente de F . En otras palabras, la gavilla cotangente se caracteriza por la propiedad universal: existe el diferencial tal que cualquier S -factores de derivación como ocurre con algunos . ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X}\to F}$ ${\displaystyle D=\alpha \circ d}$ ${\displaystyle \alpha :\Omega _{X/S}\to F}$

En el caso de que X y S sean esquemas afines, la definición anterior significa que es el módulo de los diferenciales de Kähler . La forma estándar de construir un haz cotangente (por ejemplo, Hartshorne, Capítulo II. § 8) es mediante un morfismo diagonal (que equivale a pegar módulos de diferenciales de Kähler en gráficos afines para obtener el haz cotangente definido globalmente). la gavilla cotangente en un esquema X se llama gavilla tangente en X y a veces se denota por . ^[2] ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle \Theta _{X}}$

Hay dos secuencias exactas importantes:

1. Si S → T es un morfismo de esquemas, entonces

   ${\displaystyle f^{*}\Omega _{S/T}\to \Omega _{X/T}\to \Omega _{X/S}\to 0.}$

2. Si Z es un subesquema cerrado de X con gavilla ideal I , entonces

   ${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{X/S}\otimes _{O_{X}}{\mathcal {O}}_{Z}\to \Omega _{Z/S}\to 0.}$^{[3] [4]}

La gavilla cotangente está estrechamente relacionada con la suavidad de una variedad o esquema. Por ejemplo, una variedad algebraica es suave de dimensión n si y sólo si Ω _X es una gavilla localmente libre de rango n . ^[5]

Construcción mediante un morfismo diagonal.

Sea un morfismo de esquemas como en la introducción y Δ: X → X × _S X el morfismo diagonal. Entonces la imagen de Δ está localmente cerrada ; es decir, cerrada en algún subconjunto abierto W de X × _S X (la imagen está cerrada si y sólo si f está separada ). Sea I la gavilla ideal de Δ( X ) en W . Entonces se pone: ${\displaystyle f:X\to S}$

${\displaystyle \Omega _{X/S}=\Delta ^{*}(I/I^{2})}$

y comprueba que este haz de módulos satisface la propiedad universal requerida de un haz cotangente (Hartshorne, Capítulo II. Observación 8.9.2). La construcción muestra en particular que la gavilla cotangente es casi coherente . Es coherente si S es noetheriano y f es de tipo finito.

La definición anterior significa que el haz cotangente en X es la restricción a X del haz conormal a la incrustación diagonal de X sobre S.

Relación con un paquete de líneas tautológicas

La gavilla cotangente en un espacio proyectivo está relacionada con el haz de líneas tautológicas O (-1) mediante la siguiente secuencia exacta: escribiendo para el espacio proyectivo sobre un anillo R , ${\displaystyle \mathbf {P} _{R}^{n}}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbf {P} _{R}^{n}/R}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}\to 0.}$

(Ver también Clase Chern#Espacio proyectivo complejo ).

pila cotangente

Para esta noción, véase el § 1 de

A. Beilinson y V. Drinfeld, Cuantización del sistema integrable de Hitchin y poleas propias de Hecke [1] Archivado el 5 de enero de 2015 en Wayback Machine ^[6]

Allí, la pila cotangente en una pila algebraica X se define como la Spec relativa del álgebra simétrica de la gavilla tangente en X. (Nota: en general, si E es una gavilla localmente libre de rango finito, es el paquete de vectores algebraicos correspondiente a E. [ ^{cita necesaria ]} ) ${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} ({\check {E}}))}$

Ver también: Fibración de Hitchin (la pila cotangente de es el espacio total de la fibración de Hitchin). ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Notas

1. "Sección 17.27 (08RL): Módulos de diferenciales: el proyecto Stacks".
2. En términos concisos, esto significa:

   ${\displaystyle \Theta _{X}{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X},{\mathcal {O}}_{X})={\mathcal {D}}er({\mathcal {O}}_{X}).}$

3. Hartshorne 1977, cap. II, Proposición 8.12.
4. https://mathoverflow.net/q/79956 así como (Hartshorne 1977, Capítulo II, Teorema 8.17.)
5. Hartshorne 1977, cap. II, Teorema 8.15.
6. ver también: § 3 de http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Sept22(Dmodstack1).pdf

Ver también

• complejo cotangente

Referencias

• "Gavilla de diferenciales de un morfismo".
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157

enlaces externos

• "Preguntas sobre paquetes tangentes y cotangentes en esquemas". Intercambio de pila . 2 de noviembre de 2014.