La función de von Mangoldt, denotada por Λ( n ) , se define como
Los valores de Λ( n ) para los primeros nueve números enteros positivos (es decir, números naturales) son
que está relacionado con (secuencia A014963 en el OEIS ).
Propiedades
La función de von Mangoldt satisface la identidad [1] [2]
La suma se toma de todos los números enteros d que dividen a n . Esto lo demuestra el teorema fundamental de la aritmética , ya que los términos que no son potencias de números primos son iguales a 0 . Por ejemplo, considere el caso n = 12 = 2 2 × 3 . Entonces
Fue introducido por Pafnuty Chebyshev , quien lo utilizó para demostrar que el verdadero orden de la función de conteo de primos es . Von Mangoldt proporcionó una prueba rigurosa de una fórmula explícita para ψ ( x ) que implica una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann . Esta fue una parte importante de la primera demostración del teorema de los números primos .
En particular, esta función es oscilatoria con oscilaciones divergentes : existe un valor K > 0 tal que ambas desigualdades
se mantienen infinitamente a menudo en cualquier vecindad de 0. El gráfico de la derecha indica que este comportamiento no es numéricamente obvio al principio: las oscilaciones no se ven claramente hasta que la serie se suma en exceso de 100 millones de términos, y sólo son fácilmente visibles cuando y < 10-5 .
Riesz significa
La media de Riesz de la función de von Mangoldt viene dada por
Aquí, λ y δ son números que caracterizan la media de Riesz. Hay que tomar c > 1 . La suma sobre ρ es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y
Se puede demostrar que es una serie convergente para λ > 1 .
Aproximación por ceros zeta de Riemann
La primera onda cero zeta de Riemann en la suma que se aproxima a la función de von Mangoldt
Existe una fórmula explícita para la función sumatoria de Mangoldt dada por [9]
Si separamos los ceros triviales de la función zeta, que son los enteros pares negativos, obtenemos
(La suma no es absolutamente convergente, por lo que tomamos los ceros en orden de valor absoluto de su parte imaginaria).
En la dirección opuesta, en 1911 E. Landau demostró que para cualquier t fijo > 1 [10]
(Usamos la notación ρ = β + iγ para los ceros no triviales de la función zeta).
(Izquierda) La función de von Mangoldt, aproximada por ondas zeta cero. (Derecha) La transformada de Fourier de la función de von Mangoldt proporciona un espectro con partes imaginarias de los ceros zeta de Riemann como picos.
Por lo tanto, si usamos la notación de Riemann α = −i(ρ − 1/2) tenemos que la suma sobre ceros zeta no triviales expresada como
picos en números primos y potencias de números primos.
La transformada de Fourier de la función von Mangoldt proporciona un espectro con picos en ordenadas iguales a las partes imaginarias de los ceros de la función zeta de Riemann. A esto a veces se le llama dualidad.
Función de von Mangoldt generalizada
Las funciones
donde denota la función de Möbius y denota un número entero positivo, generalice la función de von Mangoldt. [11] La función es la función ordinaria de von Mangoldt .
^ Schroeder, Manfred R. (1997). Teoría de números en la ciencia y la comunicación. Con aplicaciones en criptografía, física, información digital, informática y autosimilitud . Serie Springer en Ciencias de la Información. vol. 7 (3ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-62006-0. Zbl 0997.11501.
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^ Hardy, GH y Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de números primos" (PDF) . Acta Matemática . 41 : 119-196. doi : 10.1007/BF02422942 . Archivado desde el original (PDF) el 7 de febrero de 2012 . Consultado el 3 de julio de 2014 .
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enlaces externos
Allan Gut, Algunas observaciones sobre la distribución zeta de Riemann (2005)