La fórmula de Spitzer

En teoría de la probabilidad , la fórmula de Spitzer o identidad de Spitzer proporciona la distribución conjunta de sumas parciales y sumas parciales máximas de un conjunto de variables aleatorias. El resultado fue publicado por primera vez por Frank Spitzer en 1956. ^[1] La fórmula se considera un "trampolín en la teoría de las sumas de variables aleatorias independientes". ^[2]

Enunciado del teorema

Sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y definamos las sumas parciales . Definamos . Entonces ^[3] ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}={\text{max}}(0,S_{1},S_{2},...S_{n})}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\phi _{n}(\alpha ,\beta )t^{n}=\exp \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\left(u_{n}(\alpha )+v_{n}(\beta )-1\right)\right]}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n}(\alpha ,\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i(\alpha R_{n}+\beta (R_{n}-S_{n})\right])\\u_{n}(\alpha )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\alpha S_{n}^{+}\right])\\v_{n}(\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\beta S_{n}^{-}\right])\end{aligned}}}$

y S ^± denota (| S | ±  S )/2.

Prueba

Se conocen dos pruebas, debidas a Spitzer ^[1] y Wendel ^{[3] .}

Referencias

1. Spitzer, F. (1956). "Un lema combinatorio y su aplicación a la teoría de la probabilidad". Transactions of the American Mathematical Society . 82 (2): 323–339. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079851-X .
2. Ebrahimi-Fard, K.; Guo, L.; Kreimer, D. (2004). "Identidad de Spitzer y descomposición algebraica de Birkhoff en pQFT". Journal of Physics A: Mathematical and General . 37 (45): 11037. arXiv : hep-th/0407082 . Código Bibliográfico :2004JPhA...3711037E. doi :10.1088/0305-4470/37/45/020.
3. Wendel, James G. (1958). "La fórmula de Spitzer: una prueba breve". Actas de la American Mathematical Society . 9 (6): 905–908. doi : 10.1090/S0002-9939-1958-0103531-2 . MR  0103531.