Energía orbital específica

En el problema gravitacional de dos cuerpos , la energía orbital específica (o energía vis-viva ) de dos cuerpos en órbita es la suma constante de su energía potencial mutua ( ) y su energía cinética total ( ), dividida por la masa reducida . ^[1] Según la ecuación de conservación de la energía orbital (también conocida como ecuación de vis-viva), esta no varía con el tiempo: ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{k}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle v}$es la velocidad orbital relativa ;
• ${\displaystyle r}$es la distancia orbital entre los cuerpos;
• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$es la suma de los parámetros gravitacionales estándar de los cuerpos;
• ${\displaystyle h}$es el momento angular relativo específico en el sentido de momento angular relativo dividido por la masa reducida;
• ${\displaystyle e}$es la excentricidad orbital ;
• ${\displaystyle a}$es el semieje mayor .

Normalmente se expresa en (megajulio por kilogramo) o (kilómetro cuadrado por segundo cuadrado). Para una órbita elíptica, la energía orbital específica es el negativo de la energía adicional requerida para acelerar una masa de un kilogramo para escapar de la velocidad ( órbita parabólica ). Para una órbita hiperbólica , es igual al exceso de energía respecto a la de una órbita parabólica. En este caso, la energía orbital específica también se denomina energía característica . ${\displaystyle {\frac {\text{MJ}}{\text{kg}}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\text{km}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}}$

Formas de ecuaciones para diferentes órbitas

Para una órbita elíptica , la ecuación de energía orbital específica, cuando se combina con la conservación del momento angular específico en uno de los ábsides de la órbita , se simplifica a: ^[2]

$${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {\mu }{2a}}}$$

• ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$es el parámetro gravitacional estándar ;
• ${\displaystyle a}$es el semieje mayor de la órbita.

Prueba

Para una órbita elíptica con momento angular específico h dado por

$${\displaystyle h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)}$$

utilizamos la forma general de la ecuación de energía orbital específica,

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}$$

con la relación de que la velocidad relativa en el periapsis es

$${\displaystyle v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}}$$

Así, nuestra ecuación de energía orbital específica se convierte en

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\mu }{a}}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}}$$

y finalmente con la última simplificación obtenemos:

$${\displaystyle \varepsilon =-{\mu \over 2a}}$$

Para una órbita parabólica, esta ecuación se simplifica a

$${\displaystyle \varepsilon =0.}$$

Para una trayectoria hiperbólica, esta energía orbital específica viene dada por

$${\displaystyle \varepsilon ={\mu \over 2a}.}$$

o lo mismo que para una elipse, dependiendo de la convención para el signo de a .

En este caso, la energía orbital específica también se denomina energía característica (o ) y es igual al exceso de energía específica en comparación con la de una órbita parabólica. ${\displaystyle C_{3}}$

Está relacionado con el exceso de velocidad hiperbólica (la velocidad orbital en el infinito) por ${\displaystyle v_{\infty }}$

$${\displaystyle 2\varepsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.}$$

Es relevante para misiones interplanetarias.

Por lo tanto, si el vector de posición orbital ( ) y el vector de velocidad orbital ( ) se conocen en una posición, y se conocen, entonces se puede calcular la energía y a partir de ahí, para cualquier otra posición, la velocidad orbital. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mu }$

Tasa de cambio

Para una órbita elíptica, la tasa de cambio de la energía orbital específica con respecto a un cambio en el semieje mayor es

$${\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}}$$

• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$es el parámetro gravitacional estándar ;
• ${\displaystyle a\,\!}$es el semieje mayor de la órbita.

En el caso de órbitas circulares, esta tasa es la mitad de la gravitación en la órbita. Esto corresponde al hecho de que para tales órbitas la energía total es la mitad de la energía potencial, porque la energía cinética es menos la mitad de la energía potencial.

Energía adicional

Si el cuerpo central tiene radio R , entonces la energía específica adicional de una órbita elíptica en comparación con una órbita estacionaria en la superficie es

$${\displaystyle -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}}$$

La cantidad es la altura que la elipse se extiende sobre la superficie, más la distancia del periapsis (la distancia que la elipse se extiende más allá del centro de la Tierra). Para la Tierra es poco más que la energía específica adicional ; que es la energía cinética de la componente horizontal de la velocidad, es decir , . ${\displaystyle 2a-R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (gR/2)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {1}{2}}gR}$ ${\displaystyle V={\sqrt {gR}}}$

Ejemplos

ISS

La Estación Espacial Internacional tiene un período orbital de 91,74 minutos (5504  s), por lo que, según la Tercera Ley de Kepler, el semieje mayor de su órbita es de 6.738  km. ^{[ cita necesaria ]}

La energía orbital específica asociada con esta órbita es −29,6  MJ/kg: la energía potencial es −59,2  MJ/kg y la energía cinética es 29,6  MJ/kg. Compárese con la energía potencial en la superficie, que es −62,6  MJ/kg. La energía potencial adicional es 3,4  MJ/kg, la energía adicional total es 33,0  MJ/kg. La velocidad promedio es de 7,7 km/s, el delta-v  neto para alcanzar esta órbita es de 8,1 km/s (el delta-v real suele ser de 1,5 a 2,0 km/s más para la resistencia atmosférica y la gravedad ).  

El aumento por metro sería de 4,4  J/kg; esta tasa corresponde a la mitad de la gravedad local de 8,8  m/s ² .

Para una altitud de 100  km (el radio es 6471  km):

La energía es −30,8  MJ/kg: la energía potencial es −61,6  MJ/kg y la energía cinética es 30,8  MJ/kg. Compárese con la energía potencial en la superficie, que es −62,6  MJ/kg. La energía potencial adicional es 1,0  MJ/kg, la energía adicional total es 31,8  MJ/kg.

El aumento por metro sería de 4,8  J/kg; esta tasa corresponde a la mitad de la gravedad local de 9,5  m/s ² . La velocidad es de 7,8  km/s, el delta-v neto para alcanzar esta órbita es de 8,0  km/s.

Teniendo en cuenta la rotación de la Tierra, el delta-v es hasta 0,46  km/s menos (comenzando en el ecuador y en dirección este) o más (si va hacia el oeste).

viajero 1

Para la Voyager 1 , con respecto al Sol:

• ${\displaystyle \mu =GM}$= 132.712.440.018 km ³ ⋅s ⁻² es el parámetro gravitacional estándar del Sol
• r = 17 mil millones de kilómetros
• v = 17,1 km/s

Por eso:

$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=\mathrm {146\,km^{2}s^{-2}} -\mathrm {8\,km^{2}s^{-2}} =\mathrm {138\,km^{2}s^{-2}} }$$

Así, el exceso de velocidad hiperbólica (la velocidad orbital teórica en el infinito) viene dada por

$${\displaystyle v_{\infty }=\mathrm {16.6\,km/s} }$$

Sin embargo, la Voyager 1 no tiene suficiente velocidad para abandonar la Vía Láctea . La velocidad calculada se aplica lejos del Sol, pero en una posición tal que la energía potencial con respecto a la Vía Láctea en su conjunto ha cambiado de manera insignificante, y sólo si no hay una interacción fuerte con otros cuerpos celestes además del Sol.

Aplicando empuje

Asumir:

• a es la aceleración debida al empuje (el ritmo de tiempo al que se gasta delta-v )
• g es la intensidad del campo gravitacional
• v es la velocidad del cohete

Entonces, la tasa de cambio en el tiempo de la energía específica del cohete es : una cantidad para la energía cinética y una cantidad para la energía potencial. ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} }$

El cambio de la energía específica del cohete por unidad de cambio de delta-v es

$${\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}}$$

vva

Por lo tanto, cuando se aplica delta-v para aumentar la energía orbital específica, esto se hace de manera más eficiente si a se aplica en la dirección de v y cuando | v | es largo. Si el ángulo entre v y g es obtuso, por ejemplo en un lanzamiento y en una transferencia a una órbita superior, esto significa aplicar el delta-v lo antes posible y a plena capacidad. Véase también arrastre por gravedad . Al pasar por un cuerpo celeste significa aplicar empuje cuando está más cerca del cuerpo. Al agrandar gradualmente una órbita elíptica, significa aplicar empuje cada vez que esté cerca del periapsis.

Cuando se aplica delta-v para disminuir la energía orbital específica, esto se hace de manera más eficiente si a se aplica en la dirección opuesta a la de v , y nuevamente cuando | v | es largo. Si el ángulo entre v y g es agudo, por ejemplo en un aterrizaje (en un cuerpo celeste sin atmósfera) y en una transferencia a una órbita circular alrededor de un cuerpo celeste al llegar desde el exterior, esto significa aplicar el delta-v tan tarde como posible. Al pasar por un planeta, significa aplicar empuje cuando está más cerca del planeta. Cuando se reduce gradualmente una órbita elíptica, se aplica empuje cada vez que se acerca al periapsis.

Si a está en la dirección de v :

$${\displaystyle \Delta \varepsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt}$$

Velocidades tangenciales en altitud.

El eje inferior da las velocidades orbitales de algunas órbitas.

Ver también

• Cambio de energía específico de los cohetes.
• Energía característica C3 (Duplica la energía orbital específica)

Referencias

1. "Energía específica". Marspedia . Consultado el 12 de agosto de 2022 .
2. Wie, Bong (1998). "Dinámica orbital" . Dinámica y control de vehículos espaciales . Serie de educación AIAA. Reston, Virginia: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica . pag. 220.ISBN​ 1-56347-261-9.