Desigualdad de Remez

En matemáticas , la desigualdad de Remez , descubierta por el matemático soviético Evgeny Yakovlevich Remez (Remez 1936), da un límite a las normas sup de ciertos polinomios, límite que se alcanza con los polinomios de Chebyshev .

La desigualdad

Sea σ un número positivo fijo arbitrario. Defina la clase de polinomios π _n ( σ ) como aquellos polinomios p de n ésimo grado para los cuales

${\displaystyle |p(x)|\leq 1}$

en algún conjunto de medidas ≥ 2 contenidas en el intervalo cerrado [−1, 1+ σ ]. Entonces la desigualdad de Remez establece que

${\displaystyle \sup _{p\in \pi _{n}(\sigma )}\left\|p\right\|_{\infty }=\left\|T_{n}\right\|_{\infty }}$

donde T _n ( x ) es el polinomio de Chebyshev de grado n , y la norma suprema se toma en el intervalo [−1, 1+ σ ].

Observe que T _n aumenta en , por lo tanto ${\displaystyle [1,+\infty ]}$

${\displaystyle \|T_{n}\|_{\infty }=T_{n}(1+\sigma ).}$

El Ri, combinado con una estimación de los polinomios de Chebyshev, implica el siguiente corolario: Si J  ⊂  R es un intervalo finito y E  ⊂  J es un conjunto arbitrario mensurable, entonces

para cualquier polinomio p de grado n .

Extensiones: lema de Nazarov-Turán

Se han demostrado desigualdades similares a ( ⁎ ) para diferentes clases de funciones y se conocen como desigualdades de tipo Remez. Un ejemplo importante es la desigualdad de Nazarov para sumas exponenciales (Nazarov 1993):

La desigualdad de Nazarov . Dejar

${\displaystyle p(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}e^{\lambda _{k}x}}$

sea ​​una suma exponencial (con λ _k  ∈ C arbitraria ), y sea J  ⊂  R un intervalo finito, E  ⊂  J , un conjunto arbitrario medible. Entonces

${\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\left({\frac {C\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E}|p(x)|~,}$

donde C > 0 es una constante numérica.

En el caso especial en el que λ _k es imaginario puro y entero, y el subconjunto E es en sí mismo un intervalo, la desigualdad fue demostrada por Pál Turán y se conoce como lema de Turán.

Esta desigualdad también se extiende de la siguiente manera ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} ),\ 0\leq p\leq 2}$

${\displaystyle \|p\|_{L^{p}(\mathbb {T} )}\leq e^{A(n-1){\textrm {mes}}(\mathbb {T} \setminus E)}\|p\|_{L^{p}(E)}}$

para algunos A >0 independiente de p , E y n . Cuando

${\displaystyle \mathrm {mes} E<1-{\frac {\log n}{n}}}$

se cumple una desigualdad similar para p > 2. Para p =∞ hay una extensión a los polinomios multidimensionales.

Prueba: la aplicación del lema de Nazarov a conduce a ${\displaystyle E=E_{\lambda }=\{x\,:\ |p(x)|\leq \lambda \},\ \lambda >0}$

${\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\left({\frac {C\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E_{\lambda }}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\left({\frac {C\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\lambda }$

de este modo

${\displaystyle {\textrm {mes}}E_{\lambda }\leq C\,\,{\textrm {mes}}J\left({\frac {\lambda e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}}{\max _{x\in J}|p(x)|}}\right)^{\frac {1}{n-1}}}$

Ahora arregle un conjunto y elija tal que , es decir ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\textrm {mes}}E_{\lambda }\leq {\tfrac {1}{2}}{\textrm {mes}}E}$

${\displaystyle \lambda =\left({\frac {{\textrm {mes}}E}{2C\mathrm {mes} J}}\right)^{n-1}e^{-\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|}$

Tenga en cuenta que esto implica:

1. ${\displaystyle {\textrm {mes}}E\setminus E_{\lambda }\geq {\tfrac {1}{2}}{\textrm {mes}}E.}$
2. ${\displaystyle \forall x\in E\setminus E_{\lambda }:|p(x)|>\lambda .}$

Ahora

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x\in E}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x&\geq \int _{x\in E\setminus E_{\lambda }}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x\\[6pt]&\geq \lambda ^{p}{\frac {1}{2}}{\textrm {mes}}E\\[6pt]&={\frac {1}{2}}{\textrm {mes}}E\left({\frac {{\textrm {mes}}E}{2C\mathrm {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|^{p}\\[6pt]&\geq {\frac {1}{2}}{\frac {{\textrm {mes}}E}{{\textrm {mes}}J}}\left({\frac {{\textrm {mes}}E}{2C\mathrm {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\int _{x\in J}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x,\end{aligned}}}$

lo que completa la prueba.

Desigualdad de Pólya

Uno de los corolarios del Ri es la desigualdad de Pólya , que fue probada por George Pólya (Pólya 1928), y establece que la medida de Lebesgue de un conjunto de subniveles de un polinomio p de grado n está acotado en términos del coeficiente principal LC( p ) de la siguiente manera:

${\displaystyle {\textrm {mes}}\left\{x\in \mathbb {R} :\left|P(x)\right|\leq a\right\}\leq 4\left({\frac {a}{2\mathrm {LC} (p)}}\right)^{1/n},\quad a>0~.}$

Referencias

• Remez, EJ (1936). "Sur une propriété des polynômes de Tchebyscheff". Com. Inst. Ciencia. Jarkov . 13 : 93–95.
• Bojanov, B. (mayo de 1993). "Prueba elemental de la desigualdad de Remez". El Mensual Matemático Estadounidense . 100 (5). Asociación Matemática de América: 483–485. doi :10.2307/2324304. JSTOR  2324304.
• Fontes-Merz, N. (2006). "Una versión multidimensional del lema de Turan". Revista de teoría de la aproximación . 140 (1): 27–30. doi : 10.1016/j.jat.2005.11.012 .
• Nazarov, F. (1993). "Estimaciones locales para polinomios exponenciales y sus aplicaciones a desigualdades del tipo principio de incertidumbre". Álgebra y Análisis . 5 (4): 3–66.
• Nazarov, F. (2000). "Versión completa del lema de Turan para polinomios trigonométricos en la circunferencia unitaria". Análisis complejo, operadores y temas relacionados . 113 : 239–246. doi :10.1007/978-3-0348-8378-8_20. ISBN 978-3-0348-9541-5.
• Pólya, G. (1928). "Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusammenhängende Gebiete". Sitzungsberichte Akad. Berlín : 280–282.