La desigualdad de Mahler

En matemáticas , la desigualdad de Mahler , llamada así en honor a Kurt Mahler , establece que la media geométrica de la suma término por término de dos secuencias finitas de números positivos es mayor o igual a la suma de sus dos medias geométricas separadas:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})^{1/n}\geq \prod _{k=1}^{n}x_{k}^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}y_{k}^{1/n}}$

cuando x _k , y _k > 0 para todo k .

Prueba

Por la desigualdad de las medias aritméticas y geométricas , tenemos:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{x_{k} \over x_{k}+y_{k}},}$

y

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{y_{k} \over x_{k}+y_{k}}.}$

Por eso,

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}n=1.}$

Al limpiar los denominadores se obtiene el resultado deseado.

Véase también

• Desigualdad de Minkowski

Referencias

• Desigualdad de Minkowski en la Enciclopedia de Matemáticas