Desigualdad de Bessel

Teorema sobre sucesiones ortonormales

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , la desigualdad de Bessel es una afirmación sobre los coeficientes de un elemento en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal . La desigualdad fue derivada por F. W. Bessel en 1828. ^[1] ${\displaystyle x}$

Sea un espacio de Hilbert, y supongamos que es una sucesión ortonormal en . Entonces, para cualquier en uno tiene ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2},}$

donde ⟨·,·⟩ denota el producto interno en el espacio de Hilbert . ^{[2] [3] [4]} Si definimos la suma infinita ${\displaystyle H}$

${\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},}$

que consiste en una "suma infinita" de vectores resueltos en dirección , la desigualdad de Bessel nos dice que esta serie converge . Se puede pensar que existe que se puede describir en términos de base potencial . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle x'\in H}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }$

Para una secuencia ortonormal completa (es decir, para una secuencia ortonormal que es una base ), tenemos la identidad de Parseval , que reemplaza la desigualdad con una igualdad (y en consecuencia con ). ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x}$

La desigualdad de Bessel se sigue de la identidad

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Re} \langle x,\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\rangle +\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},\end{aligned}}}$

lo cual es válido para cualquier n natural .

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Teorema de Parseval

Referencias

1. "Desigualdad de Bessel - Enciclopedia de Matemáticas".
2. Saxe, Karen (7 de diciembre de 2001). Análisis funcional básico. Springer Science & Business Media. pág. 82. ISBN 9780387952246.
3. Zorich, Vladimir A.; Cooke, R. (22 de enero de 2004). Análisis matemático II. Springer Science & Business Media. págs. 508–509. ISBN 9783540406334.
4. Vetterli, Martin; Kovačević, Jelena; Goyal, Vivek K. (4 de septiembre de 2014). Fundamentos del procesamiento de señales. Cambridge University Press. pág. 83. ISBN 9781139916578.

Enlaces externos

• "Desigualdad de Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Desigualdad de Bessel el artículo sobre la desigualdad de Bessel en MathWorld.

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