En finanzas matemáticas , la convexidad se refiere a las no linealidades en un modelo financiero . En otras palabras, si el precio de una variable subyacente cambia, el precio de un producto no cambia linealmente, sino que depende de la segunda derivada (o, en términos generales, de los términos de orden superior ) de la función de modelado. Geométricamente, el modelo ya no es plano sino curvo, y el grado de curvatura se denomina convexidad.
En sentido estricto, la convexidad se refiere a la segunda derivada del precio de un producto con respecto al precio de un insumo. En la fijación de precios con derivados , se la denomina Gamma (Γ), una de las griegas . En la práctica, la más importante de ellas es la convexidad de los bonos , la segunda derivada del precio de los bonos con respecto a las tasas de interés.
Como la segunda derivada es el primer término no lineal y, por lo tanto, a menudo el más significativo, el término "convexidad" también se utiliza de manera imprecisa para referirse a las no linealidades en general, incluidos los términos de orden superior. El refinamiento de un modelo para tener en cuenta las no linealidades se conoce como corrección de convexidad .
Formalmente, el ajuste de convexidad surge de la desigualdad de Jensen en la teoría de probabilidad: el valor esperado de una función convexa es mayor o igual que la función del valor esperado:
Geométricamente, si el precio del modelo se curva hacia arriba en ambos lados del valor actual (la función de pago es convexa hacia arriba y está por encima de una línea tangente en ese punto), entonces, si el precio del activo subyacente cambia, el precio del producto final es mayor que el que se modela utilizando solo la primera derivada. Por el contrario, si el precio del modelo se curva hacia abajo (la convexidad es negativa, la función de pago está por debajo de la línea tangente), el precio del producto final es menor que el que se modela utilizando solo la primera derivada. [ aclaración necesaria ]
El ajuste preciso de la convexidad depende del modelo de los movimientos futuros de precios del subyacente (la distribución de probabilidad) y del modelo del precio, aunque es lineal en la convexidad (segunda derivada de la función de precio).
La convexidad se puede utilizar para interpretar los precios de los derivados: matemáticamente, la convexidad es opcionalidad: el precio de una opción (el valor de la opcionalidad) corresponde a la convexidad del pago subyacente.
En la fijación de precios de opciones según el método Black-Scholes , que omite los tipos de interés y la primera derivada, la ecuación de Black-Scholes se reduce a "(infinitesimalmente) el valor temporal es la convexidad". Es decir, el valor de una opción se debe a la convexidad del pago final: uno tiene la opción de comprar un activo o no (en una opción de compra; en una opción de venta, es una opción de venta), y la función de pago final (con forma de palo de hockey ) es convexa; la "opcionalidad" corresponde a la convexidad en el pago. Por lo tanto, si uno compra una opción de compra, el valor esperado de la opción es mayor que si simplemente se toma el valor futuro esperado del subyacente y se lo introduce en la función de pago de la opción: el valor esperado de una función convexa es mayor que la función del valor esperado (desigualdad de Jensen). El precio de la opción (el valor de la opcionalidad) refleja, por lo tanto, la convexidad de la función de pago [ aclaración necesaria ] .
Este valor se aísla a través de un straddle : comprar un straddle at-the-money (cuyo valor aumenta si el precio del subyacente aumenta o disminuye) no tiene (inicialmente) delta: uno simplemente está comprando convexidad (opcionalidad), sin tomar una posición en el activo subyacente; uno se beneficia del grado de movimiento, no de la dirección .
Desde el punto de vista de la gestión de riesgos, tener una convexidad larga (tener Gamma positiva y, por lo tanto (ignorando las tasas de interés y Delta) Theta negativa) significa que uno se beneficia de la volatilidad (Gamma positiva), pero pierde dinero con el tiempo (Theta negativa): uno obtiene ganancias netas si los precios se mueven más de lo esperado y pérdidas netas si los precios se mueven menos de lo esperado.
Desde una perspectiva de modelado, los ajustes de convexidad surgen cada vez que las variables financieras subyacentes modeladas no son una martingala bajo la medida de precios . La aplicación del teorema de Girsanov [1] permite expresar la dinámica de las variables financieras modeladas bajo la medida de precios y, por lo tanto, estimar este ajuste de convexidad. Algunos ejemplos típicos de ajustes de convexidad incluyen:
![{\displaystyle E[f(X)]\geq f(E[X]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78d4175b1e4e211644ad51362f7d7b27a76f66b)
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