Conjetura del panal

Una cuadrícula hexagonal regular

Este panal forma un empaque circular , con círculos centrados en cada hexágono.

La conjetura del panal de abejas afirma que una cuadrícula hexagonal regular o panal de abejas tiene el perímetro total más pequeño de cualquier subdivisión del plano en regiones de igual área. La conjetura fue demostrada en 1999 por el matemático Thomas C. Hales . ^[1]

Teorema

Sea cualquier sistema de curvas suaves en , subdividiendo el plano en regiones (componentes conexos del complemento de ) todas las cuales están acotadas y tienen área unitaria. Entonces, promediado sobre discos grandes en el plano, la longitud promedio de por unidad de área es al menos tan grande como para el mosaico hexagonal. El teorema se aplica incluso si el complemento de tiene componentes adicionales que no están acotados o cuyo área no es uno; permitiendo que estos componentes adicionales no puedan acortar . Formalmente, sea el disco de radio centrado en el origen, sea la longitud total de , y sea el área total de cubierta por componentes de área unitaria acotadas. (Si estos son los únicos componentes, entonces .) Entonces el teorema establece que El valor en el lado derecho de la desigualdad es la longitud límite por unidad de área del mosaico hexagonal. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L_{r}}$ ${\displaystyle \Gamma \cap B(0,r)}$ ${\displaystyle A_{r}}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle A_{r}=\pi r^{2}}$ $${\displaystyle \limsup _{r\to \infty }{\frac {L_{r}}{A_{r}}}\geq {\sqrt[{4}]{12}}.}$$

Historia

El primer registro de la conjetura se remonta al año 36 a. C., de Marco Terencio Varrón , pero a menudo se atribuye a Pappus de Alejandría ( c.  290  - c.  350 ). ^[2] En el siglo XVII, Jan Brożek utilizó un teorema similar para argumentar por qué las abejas crean panales hexagonales . En 1943, László Fejes Tóth publicó una prueba para un caso especial de la conjetura, en el que se requiere que cada celda sea un polígono convexo . ^[3] La conjetura completa fue demostrada en 1999 por el matemático Thomas C. Hales , quien menciona en su trabajo que hay razones para creer que la conjetura puede haber estado presente en las mentes de los matemáticos antes de Varrón. ^{[1] [2]}

También está relacionado con el empaquetamiento circular más denso del plano, en el que cada círculo es tangente a otros seis círculos, que llenan poco más del 90% del área del plano.

El caso en el que el problema se limita a una cuadrícula cuadrada fue resuelto en 1989 por Jaigyoung Choe, quien demostró que la figura óptima es un hexágono irregular. ^{[4] [5]}

Véase también

• Estructura de Weaire-Phelan , un contraejemplo de la conjetura de Kelvin sobre la solución de un problema similar en 3D.

Referencias

1. Hales, Thomas C. (enero de 2001). "La conjetura del panal". Geometría discreta y computacional . 25 (1): 1–22. arXiv : math/9906042 . doi :10.1007/s004540010071. MR  1797293. S2CID  14849112.
2. Weisstein, Eric W. "Conjetura del panal". MathWorld . Consultado el 27 de diciembre de 2010 .
3. Fejes, László (1943). "Über das kürzeste Kurvennetz, das eine Kugeloberfläche in flächengleiche konvexe Teile zerlegt". Matemáticas. Naturwiss. Anz. Ungar. Akád. Wiss . 62 : 349–354. SEÑOR  0024155.
4. Choe, Jaigyoung (1989-01-01). "Sobre la existencia y regularidad de dominios fundamentales con área límite mínima". Journal of Differential Geometry . 29 (3). doi : 10.4310/jdg/1214443065 . ISSN  0022-040X.
5. Cepelewicz, Jordana. "Matemáticos completan la misión de construir 'cubos esféricos'". Quanta Magazine .