Cinética de Michaelis-Menten-Monod

En la cinética de Michaelis–Menten–Monod ( MMM ) se entiende el acoplamiento de una reacción química impulsada por enzimas del tipo Michaelis–Menten ^[1] con el crecimiento Monod de un organismo que realiza la reacción química. ^[2] La reacción impulsada por enzimas puede conceptualizarse como la unión de una enzima E con el sustrato S para formar un complejo intermedio C, que libera el producto de reacción P y la enzima E inalterada. Durante el consumo metabólico de S, se produce biomasa B, que sintetiza la enzima, retroalimentando así la reacción química. Los dos procesos pueden expresarse como

donde y son las constantes de velocidad de equilibrio hacia adelante y hacia atrás, es la constante de velocidad de reacción para la liberación del producto, es el coeficiente de rendimiento de biomasa y es el coeficiente de rendimiento de la enzima. ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{-1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$

Cinética transitoria

Las ecuaciones cinéticas que describen las reacciones anteriores se pueden derivar de las ecuaciones de GEBIK ^[3] y se escriben como

donde es la tasa de mortalidad de la biomasa y es la tasa de degradación de la enzima. Estas ecuaciones describen la cinética transitoria completa, pero no pueden limitarse normalmente a los experimentos porque el complejo C es difícil de medir y no hay un consenso claro sobre si realmente existe. ${\displaystyle \mu _{B}}$ ${\displaystyle \mu _{E}}$

Cinética de estado cuasi-estacionario

Las ecuaciones 3 se pueden simplificar utilizando la aproximación de estado cuasi-estacionario (QSS), es decir, para ; ^[4] bajo el QSS, las ecuaciones cinéticas que describen el problema MMM se convierten en ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}[C]}{{\text{d}}t}}=0}$

donde es la constante de Michaelis-Menten (también conocida como concentración y afinidad de semisaturación). ${\displaystyle K=(k_{-1}+k)/k_{1}}$

Solución analítica implícita

Si se plantea la hipótesis de que la enzima se produce a una tasa proporcional a la producción de biomasa y se degrada a una tasa proporcional a la mortalidad de la biomasa, entonces las ecuaciones 4 se pueden reescribir como

donde , , , son funciones explícitas del tiempo . Nótese que las ecuaciones (4b) y (4d) dependen linealmente de las ecuaciones (4a) y (4c), que son las dos ecuaciones diferenciales que se pueden usar para resolver el problema MMM. Se puede obtener una solución analítica implícita ^[5] si se elige como variable independiente y , , y ) se reescriben como funciones de para obtener ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t(P)}$ ${\displaystyle S(P)}$ ${\displaystyle E(P)}$ ${\displaystyle B(P}$ ${\displaystyle P}$

donde se ha sustituido por según el balance de masa , con el valor inicial cuando , y donde se ha sustituido por según la relación lineal expresada por la ecuación (4d). La solución analítica de la ecuación (5b) es ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle S(P)=S_{0}-P}$ ${\displaystyle S_{0}+P_{0}=S+P}$ ${\displaystyle S_{0}=S(P)}$ ${\displaystyle P=P_{0}=0}$ ${\displaystyle E(t)}$ ${\displaystyle zB(P)}$ ${\displaystyle E=zB}$

con la concentración inicial de biomasa cuando . Para evitar la solución de una función trascendental , se utiliza una expansión polinómica de Taylor al segundo orden en en la ecuación (6) como ${\displaystyle B_{0}=B(P)}$ ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B(P)}$

Sustituyendo la ecuación (7) en la ecuación (5a) y resolviendo con el valor inicial , se obtiene la solución implícita para como ${\displaystyle t(P)}$ ${\displaystyle t(P=0)=0}$ ${\displaystyle t(P)}$

con las constantes

Para cualquier valor elegido de , la concentración de biomasa se puede calcular con la ecuación (7) en un momento dado por la ecuación (8). Los valores correspondientes de y se pueden determinar utilizando los balances de masa introducidos anteriormente. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t(P)}$ ${\displaystyle S(P)=S_{0}-P}$ ${\displaystyle E(P)=zB(P)}$

Véase también

• Cinética enzimática
• Cinética de Michaelis-Menten
• Monodo
• Ecuaciones de GEBIK

Referencias

1. Michaelis, L.; Menten, ML (1913). "Die Kinetik der Invertinwirkung". Bioquímica Z. 49: 333–369
2. Monod J. (1949) El crecimiento de cultivos bacterianos. Annu. Rev. Microbial. 3, 371–394
3. Maggi F. y WJ Riley, (2010), Tratamiento matemático de la especiación y fraccionamiento de isotopólogos e isotopómeros en cinética bioquímica, Geochim. Cosmochim. Acta , doi :10.1016/j.gca.2009.12.021
4. Briggs GE; Haldane, JBS, "Una nota sobre la cinética de la acción enzimática", \textit{Biochem J.} \textbf{1925}, \textit{19(2)}, 338–339.
5. Maggi F. y La Cecilia D., (2016), "Una solución analítica implícita de la cinética de Michaelis–Menten–Monod", American Chemical Society, ACS Omega 2016, 1, 894−898, doi :10.1021/acsomega.6b00174