En matemáticas , Jean-Pierre Serre conjeturó [1] [2] la siguiente afirmación sobre la cohomología de Galois de un grupo algebraico semisimple simplemente conexo . Es decir, conjeturó que si G es un grupo de este tipo sobre un cuerpo perfecto F de dimensión cohomológica como máximo 2, entonces el conjunto de cohomología de Galois H 1 ( F , G ) es cero.
Se cumple una conjetura inversa: si el campo F es perfecto y si el conjunto de cohomología H 1 ( F , G ) es cero para cada grupo algebraico semisimple simplemente conexo G entonces la dimensión p -cohomológica de F es como máximo 2 para cada primo p . [3]
La conjetura se cumple en el caso en que F es un cuerpo local (como un cuerpo p-ádico ) o un cuerpo global sin incrustaciones reales (como Q ( √ −1 )). Este es un caso especial del principio de Hasse de Kneser-Harder-Chernousov para grupos algebraicos sobre cuerpos globales. (Nótese que tales cuerpos tienen de hecho una dimensión cohomológica de como máximo 2. [2] ) La conjetura también se cumple cuando F se genera finitamente sobre los números complejos y tiene un grado de trascendencia de como máximo 2. [4]
También se sabe que la conjetura es válida para ciertos grupos G . Para grupos lineales especiales, es una consecuencia del teorema de Merkurjev–Suslin . [5] Sobre la base de este resultado, la conjetura es válida si G es un grupo clásico . [6] La conjetura también es válida si G es uno de ciertos tipos de grupo excepcional . [7]