Teorema de continuidad de Lévy

Resultado en la teoría de la probabilidad

En teoría de la probabilidad , el teorema de continuidad de Lévy , o teorema de convergencia de Lévy , ^[1] llamado así por el matemático francés Paul Lévy , conecta la convergencia en la distribución de la secuencia de variables aleatorias con la convergencia puntual de sus funciones características . Este teorema es la base de un enfoque para demostrar el teorema del límite central y es uno de los principales teoremas relacionados con las funciones características.

Declaración

Supongamos que tenemos

• una secuencia de variables aleatorias , que no necesariamente comparten un espacio de probabilidad común , ${\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$
• la secuencia de funciones características correspondientes , que por definición son ${\textstyle \{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

  ${\displaystyle \varphi _{n}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX_{n}}\right]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,}$

  ¿Dónde está el operador de valor esperado ? ${\displaystyle \operatorname {E} }$

Si la secuencia de funciones características converge puntualmente a alguna función ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} ,}$

Entonces las siguientes afirmaciones se vuelven equivalentes:

• ${\displaystyle X_{n}}$ converge en distribución a alguna variable aleatoria X

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,}$

  es decir, las funciones de distribución acumulativa correspondientes a variables aleatorias convergen en cada punto de continuidad de la función de distribución acumulativa de  X ;
• ${\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$está apretado :

  ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0;}$

• ${\displaystyle \varphi (t)}$es una función característica de alguna variable aleatoria X ;
• ${\displaystyle \varphi (t)}$es una función continua de t ;
• ${\displaystyle \varphi (t)}$es continua en t  = 0.

Prueba

Existen pruebas rigurosas de este teorema. ^{[1] [2]}

Referencias

1. Williams, D. (1991). Probabilidad con martingalas . Cambridge University Press. Sección 18.1. ISBN 0-521-40605-6.
2. Fristedt, BE; Gray, LF (1996). Un enfoque moderno de la teoría de la probabilidad . Boston: Birkhäuser. Teoremas 14.15 y 18.21. ISBN 0-8176-3807-5.