Criterio de Chebychev-Grübler-Kutzbach

Fórmula para la movilidad de una cadena cinemática

El criterio de Chebychev -Grübler-Kutzbach determina el número de grados de libertad de una cadena cinemática , es decir, un acoplamiento de cuerpos rígidos mediante restricciones mecánicas. ^[1] Estos dispositivos también se denominan eslabonamientos .

El criterio de Kutzbach también se denomina fórmula de movilidad , porque calcula el número de parámetros que definen la configuración de un vínculo a partir del número de vínculos y articulaciones y el grado de libertad en cada articulación.

Se han diseñado conexiones interesantes y útiles que violan la fórmula de movilidad al utilizar características geométricas y dimensiones especiales para proporcionar más movilidad que la prevista por esta fórmula. Estos dispositivos se denominan mecanismos sobrerrestringidos .

Fórmula de movilidad

La fórmula de movilidad cuenta el número de parámetros que definen las posiciones de un conjunto de cuerpos rígidos y luego reduce este número por las restricciones que imponen las articulaciones que conectan estos cuerpos. ^{[2] [3]}

Imaginemos una gaviota esférica. Un único cuerpo sin restricciones que se eleva en un espacio tridimensional tiene seis grados de libertad: tres de traslación (por ejemplo, x , y , z ) y tres de rotación (por ejemplo, balanceo, cabeceo y guiñada).

Así, un sistema de cuerpos rígidos no conectados que se mueven en el espacio (una bandada de gaviotas en vuelo) tiene grados de libertad medidos en relación con un marco fijo (sistema de coordenadas). El marco fijo puede elegirse arbitrariamente (un observador en cualquier lugar de la playa). Y el marco puede incluso ser local o subjetivo: desde el punto de vista de una de las gaviotas, el mundo se mueve a su alrededor, mientras que ella permanece fija. Así, este marco puede incluirse en el recuento de cuerpos (la bandada de gaviotas vista desde la gaviota elegida A - quizás A está de pie en la playa, quizás A está volando, pero mirando a la bandada desde el punto de vista local fijo de A), y, por lo tanto, la movilidad es independiente de la elección del vínculo que formará el marco fijo. Entonces, el grado de libertad de este sistema es donde es el número de cuerpos en movimiento más el cuerpo fijo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 6n}$ ${\displaystyle M=6(N-1),}$ ${\displaystyle N=n+1}$

Las articulaciones que conectan cuerpos en este sistema eliminan grados de libertad y reducen la movilidad. En concreto, las bisagras y los deslizadores imponen cinco restricciones cada uno y, por tanto, eliminan cinco grados de libertad. Es conveniente definir el número de restricciones que impone una articulación en términos de la libertad de la articulación , donde En el caso de una bisagra o deslizador, que son articulaciones de un grado de libertad, tienen y, por tanto, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle c=6-f.}$ ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle c=6-1=5.}$

El resultado es que la movilidad de un sistema formado por eslabones y articulaciones móviles, cada uno con libertad para moverse, viene dada por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i=1,...,j,}$

${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}.}$

Recordemos que incluye el enlace fijo. ${\displaystyle N}$

Existen dos casos especiales importantes: (i) una cadena abierta simple y (ii) una cadena cerrada simple. Una cadena abierta simple consta de eslabones móviles conectados de extremo a extremo por articulaciones, con un extremo conectado a un eslabón de tierra. Por lo tanto, en este caso y la movilidad de la cadena es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle N=j+1}$

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

En una cadena cerrada simple, los eslabones móviles están conectados de extremo a extremo mediante juntas de modo que los dos extremos están conectados al eslabón de tierra formando un bucle. En este caso, tenemos y la movilidad de la cadena es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle N=j}$

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6}$

Un ejemplo de una cadena abierta simple es un robot manipulador en serie. Estos sistemas robóticos se construyen a partir de una serie de eslabones conectados por seis articulaciones prismáticas o giratorias de un grado de libertad, por lo que el sistema tiene seis grados de libertad.

Un ejemplo de cadena cerrada simple es el acoplamiento espacial de cuatro barras RSSR. La suma de los grados de libertad de estas uniones es ocho, por lo que la movilidad del acoplamiento es dos, donde uno de los grados de libertad es la rotación del acoplador alrededor de la línea que une las dos uniones en S.

Movimiento plano y esférico

Es una práctica común diseñar el sistema de enlace de modo que el movimiento de todos los cuerpos esté restringido a encontrarse en planos paralelos, para formar lo que se conoce como un enlace plano . También es posible construir el sistema de enlace de modo que todos los cuerpos se muevan en esferas concéntricas, formando un enlace esférico . En ambos casos, los grados de libertad de los enlaces en cada sistema son ahora tres en lugar de seis, y las restricciones impuestas por las articulaciones son ahora c  = 3 −  f .

En este caso, la fórmula de movilidad viene dada por

${\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

y los casos especiales se convierten en

• cadena abierta simple plana o esférica,

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

• cadena cerrada simple plana o esférica,

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-3.}$

Un ejemplo de una cadena cerrada simple plana es el eslabón plano de cuatro barras , que es un bucle de cuatro barras con cuatro articulaciones de un grado de libertad y, por lo tanto, tiene una movilidad  M  = 1.

Véase también

• Teoría de Burmester
• Enlace de cuatro barras
• Enlace (mecánico)
• Máquina (mecánica)
• Sistema mecánico
• Mecanismo sobreconstreñido

Notas y referencias

1. Jorge Angeles, Clifford Truesdell (1989). Cinemática racional. Springer. pág. Capítulo 6, pág. 78ff. ISBN 978-0-387-96813-1.
2. JJ Uicker, GR Pennock y JE Shigley, 2003, Teoría de máquinas y mecanismos, Oxford University Press, Nueva York.
3. JM McCarthy y GS Soh, Diseño geométrico de vínculos, 2.ª edición, Springer 2010

Lectura adicional

• Gogu, Grigore (mayo de 2005). "El criterio de Chebychev–Grübler–Kutzbach para el cálculo de la movilidad de mecanismos de múltiples bucles revisado a través de la teoría de transformaciones lineales". Revista Europea de Mecánica - A/Sólidos . 24 (3): 427–441. Bibcode :2005EuJMA..24..427G. doi :10.1016/j.euromechsol.2004.12.003.

Enlaces externos

• Cinemática básica de cuerpos rígidos
• Criterio de Chebychev-Grübler-Kutzbach: fórmula de movilidad