En mecánica cuántica , el teorema de Kochen-Specker ( KS ) , también conocido como teorema de Bell-KS , [1] es un teorema "no válido" [2] demostrado por John S. Bell en 1966 [3] y por Simon B. Kochen y Ernst Specker en 1967. [4] Impone ciertas restricciones a los tipos permisibles de teorías de variables ocultas , que intentan explicar las predicciones de la mecánica cuántica de una manera independiente del contexto. La versión del teorema demostrada por Kochen y Specker también dio un ejemplo explícito de esta restricción en términos de un número finito de vectores de estado.
El teorema de Kochen-Specker es un complemento del teorema de Bell . Mientras que el teorema de Bell estableció que la no localidad es una característica de cualquier teoría de variables ocultas que recupere las predicciones de la mecánica cuántica, el teorema de Kochen-Specker estableció que la contextualidad es una característica inevitable de tales teorías. [1]
El teorema demuestra que existe una contradicción entre dos supuestos básicos de las teorías de variables ocultas destinadas a reproducir los resultados de la mecánica cuántica: que todas las variables ocultas correspondientes a observables de la mecánica cuántica tienen valores definidos en un momento dado, y que los valores de esas variables son intrínsecas e independientes del dispositivo utilizado para medirlas. La contradicción se debe al hecho de que los observables de la mecánica cuántica no necesitan ser conmutativos . Resulta imposible incluir simultáneamente todas las subálgebras conmutantes del álgebra de estos observables en un álgebra conmutativa, que se supone representa la estructura clásica de la teoría de variables ocultas, si la dimensión del espacio de Hilbert es al menos tres.
El teorema de Kochen-Specker excluye las teorías de variables ocultas que suponen que todos los elementos de la realidad física pueden representarse consistentemente y simultáneamente mediante el formalismo espacial de Hilbert en la mecánica cuántica, sin tener en cuenta el contexto de un marco particular (técnicamente una descomposición proyectiva del operador de identidad) relacionado con el experimento o punto de vista analítico bajo consideración. Como lo expresaron sucintamente Isham y Butterfield , [5] (bajo el supuesto de un espacio muestral probabilístico universal como en las teorías de variables ocultas no contextuales) el teorema de Kochen-Specker "afirma la imposibilidad de asignar valores a todas las cantidades físicas mientras que, al mismo tiempo, al mismo tiempo, preservando las relaciones funcionales entre ellos".
El teorema de KS es un paso importante en el debate sobre la (in)completitud de la mecánica cuántica, impulsado en 1935 por la crítica al supuesto de completitud de Copenhague en el artículo de Einstein, Podolsky y Rosen, creando la llamada paradoja EPR . Esta paradoja se deriva de la suposición de que un resultado de medición mecánico-cuántico se genera de forma determinista como consecuencia de la existencia de un elemento de la realidad física que se supone está presente antes de la medición como propiedad del objeto microscópico. En el artículo de EPR se suponía que el valor medido de un observable mecánico cuántico puede desempeñar el papel de tal elemento de la realidad física. Como consecuencia de esta suposición metafísica, la mayoría de la comunidad física no tomó muy en serio la crítica del EPR. Además, en su respuesta [6] Bohr había señalado una ambigüedad en el artículo del EPR, en el sentido de que supone que se puede suponer que nada habría cambiado en los resultados distantes de las mediciones cambiando la base de medición local, incluso si todos los El contexto universal era diferente. Según Bohr, tener en cuenta la contextualidad derivada del sistema de medición invalidaría el razonamiento del EPR. Posteriormente, Einstein [7] observó que la confianza de Bohr en la contextualidad implica no localidad ("acción espeluznante a distancia") y que, en consecuencia, uno tendría que aceptar la incompletitud si quisiera evitar la no localidad.
En las décadas de 1950 y 1960, se abrieron dos líneas de desarrollo para aquellos que no eran reacios a la metafísica, y ambas líneas mejoraron un teorema de "no-go" presentado por von Neumann , [8] que pretendía demostrar la imposibilidad de las teorías de variables ocultas que producían la mismos resultados que la mecánica cuántica. Primero, Bohm desarrolló una interpretación de la mecánica cuántica , generalmente aceptada como una teoría de variables ocultas que sustenta la mecánica cuántica. La no localidad de la teoría de Bohm indujo a Bell a suponer que la realidad cuántica no es local y que probablemente sólo las teorías locales de variables ocultas están en desacuerdo con la mecánica cuántica. Más importante aún, Bell logró elevar el problema del nivel de la metafísica al nivel de la física al derivar una desigualdad, la desigualdad de Bell , que es capaz de ser probada experimentalmente.
Una segunda línea es la de Kochen-Specker. La diferencia esencial con el enfoque de Bell es que la posibilidad de sustentar la mecánica cuántica mediante una teoría de variables ocultas se aborda independientemente de cualquier referencia a la localidad o la no localidad, sino que se impone una restricción más fuerte que la localidad, es decir, que las variables ocultas están asociadas exclusivamente con el sistema cuántico que se está midiendo; ninguno está asociado con el aparato de medición. A esto se le llama supuesto de no contextualidad. La contextualidad se relaciona aquí con la compatibilidad de los observables de la mecánica cuántica, estando la incompatibilidad asociada con la exclusividad mutua de los arreglos de medición. El teorema de Kochen-Specker establece que ningún modelo de variables ocultas no contextual puede reproducir las predicciones de la teoría cuántica cuando la dimensión del espacio de Hilbert es tres o más.
Bell publicó una demostración del teorema de Kochen-Specker en 1966, en un artículo que había sido enviado a una revista antes de su famoso artículo sobre la desigualdad de Bell, pero que se perdió en el escritorio de un editor durante dos años. Más tarde, entre otros, Mermin [9] [10] y Peres dieron pruebas mucho más sencillas que la de Kochen-Specker . [11] Sin embargo, muchas demostraciones más simples sólo establecen el teorema para espacios de Hilbert de dimensión superior, por ejemplo, de dimensión cuatro.
La primera prueba experimental de contextualidad se realizó en 2000, [12] y en 2022 se logró una versión sin lagunas de detección, nitidez y compatibilidad. [13]
El teorema de KS explora si es posible integrar el conjunto de observables de la mecánica cuántica en un conjunto de cantidades clásicas , a pesar de que todas las cantidades clásicas son mutuamente compatibles. La primera observación hecha en el artículo de Kochen-Specker es que esto es posible de una manera trivial, es decir, ignorando la estructura algebraica del conjunto de observables de la mecánica cuántica. De hecho, sea p A ( a k ) la probabilidad de que el observable A tenga valor a k , entonces el producto Π A p A ( a k ), tomado sobre todos los posibles observables A , es una distribución de probabilidad conjunta válida , que produce todas las probabilidades de Observables de mecánica cuántica tomando marginales . Kochen y Specker señalan que esta distribución de probabilidad conjunta no es aceptable, ya que ignora todas las correlaciones entre los observables. Así, en mecánica cuántica A 2 tiene valor a k 2 si A tiene valor a k , lo que implica que los valores de A y A 2 están altamente correlacionados.
De manera más general, Kochen y Specker exigen que para una función arbitraria f el valor de lo observable satisfaga
Si A 1 y A 2 son observables compatibles (conmensurables), entonces, por la misma razón, deberíamos tener las dos igualdades siguientes:
y real, y
El primero de ellos es un debilitamiento considerable en comparación con el supuesto de von Neumann de que esta igualdad debería ser válida independientemente de si A 1 y A 2 son compatibles o incompatibles. Kochen y Specker pudieron demostrar que una asignación de valor no es posible ni siquiera sobre la base de estos supuestos más débiles. Para hacerlo, restringieron los observables a una clase especial, a saber, los llamados observables sí-no, que tienen sólo valores 0 y 1, correspondientes a operadores de proyección sobre los vectores propios de ciertas bases ortogonales de un espacio de Hilbert.
Siempre que el espacio de Hilbert sea al menos tridimensional, pudieron encontrar un conjunto de 117 operadores de proyección de este tipo, sin permitir atribuir a cada uno de ellos de forma inequívoca ni el valor 0 ni el 1. En lugar de una prueba bastante complicada Por Kochen y Specker, es más esclarecedor reproducir aquí una de las demostraciones mucho más simples dadas mucho más tarde, que emplea un número menor de operadores de proyección, pero sólo prueba el teorema cuando la dimensión del espacio de Hilbert es al menos 4. señala que es posible obtener un resultado similar basándose en un conjunto de sólo 18 operadores de proyección. [14]
Para hacerlo, es suficiente darse cuenta de que si u 1 , u 2 , u 3 y u 4 son los cuatro vectores ortogonales de una base ortogonal en el espacio de Hilbert de cuatro dimensiones, entonces los operadores de proyección P 1 , P 2 , P 3 , P 4 en estos vectores conmutan mutuamente (y, por lo tanto, corresponden a observables compatibles, lo que permite una atribución simultánea de valores 0 o 1). Desde
resulta que
Pero desde
de = 0 o 1 se deduce que de los cuatro valores uno debe ser 1, mientras que los otros tres deben ser 0.
Cabello, [15] [16] ampliando un argumento desarrollado por Kernaghan [17] consideró 9 bases ortogonales, correspondiendo cada base a una columna de la siguiente tabla, en la que se muestran explícitamente los vectores de base. Las bases se eligen de tal manera que cada proyector aparezca exactamente en dos contextos, estableciendo así relaciones funcionales entre contextos.
Ahora el teorema de "no ir" se sigue al asegurarse de que lo siguiente sea imposible: colocar un valor, ya sea un 1 o un 0, en cada compartimento de la tabla anterior de tal manera que:
Da la casualidad de que todo lo que tenemos que hacer ahora es hacer la pregunta: ¿cuántas veces debería aparecer el valor 1 en la tabla? Por un lado, (a) implica que 1 debería aparecer 9 veces: hay 9 columnas y (a) dice que 1 debería aparecer exactamente una vez por columna. Por otro lado, (b) implica que 1 debe aparecer un número par de veces: todos los compartimentos vienen en pares del mismo color, y (b) dice que si un miembro de un par contiene 1, entonces el otro miembro debe contener 1. también. Para repetir, (a) dice que 1 aparece 9 veces, mientras que (b) dice que aparece un número par de veces. Como 9 no es par, se deduce que (a) y (b) son mutuamente contradictorios; ninguna distribución de unos y ceros en los compartimentos podría satisfacer ambos.
La prueba habitual del teorema de Bell ( desigualdad CHSH ) también se puede convertir en una prueba simple del teorema de KS en dimensión al menos 4. La configuración de Bell implica cuatro mediciones con cuatro resultados (cuatro pares de una medición binaria simultánea en cada ala del experimento ) y cuatro con dos resultados (las dos mediciones binarias en cada ala del experimento, sin acompañamiento), es decir, 24 operadores de proyección.
En el artículo de Kochen-Specker se analiza la posibilidad de que la atribución de valor pueda depender del contexto, es decir, los observables correspondientes a vectores iguales en diferentes columnas de la tabla no necesitan tener valores iguales porque diferentes columnas corresponden a diferentes disposiciones de medición. Dado que la realidad subcuántica (como la describe la teoría de las variables ocultas) puede depender del contexto de medición, es posible que las relaciones entre los observables de la mecánica cuántica y las variables ocultas sean simplemente homomórficas en lugar de isomórficas. Esto haría obsoleto el requisito de una atribución de valor independiente del contexto. Por tanto, el teorema de KS sólo excluye las teorías de variables ocultas no contextuales. La posibilidad de la contextualidad ha dado lugar a las llamadas interpretaciones modales de la mecánica cuántica .
El teorema de KS demuestra la imposibilidad de la suposición de Einstein de que un elemento de la realidad física está representado por el valor de un observable mecánico cuántico. El valor de un observable mecánico-cuántico se refiere en primer lugar a la posición final de la aguja de un instrumento de medición, que sólo surge durante la medición y que, por esta razón, no puede desempeñar el papel de un elemento de medición física. realidad. Los elementos de la realidad física, si existieran, parecerían necesitar una teoría subcuántica (de variables ocultas) para su descripción en lugar de la mecánica cuántica. En publicaciones posteriores [18] las desigualdades de Bell se discuten sobre la base de teorías de variables ocultas en las que se supone que la variable oculta se refiere a una propiedad subcuántica del objeto microscópico diferente del valor de un observable mecánico cuántico. Esto abre la posibilidad de distinguir diferentes niveles de realidad descritos por diferentes teorías, lo que ya había sido practicado por Louis de Broglie . Para teorías más generales, el teorema de KS es aplicable sólo si se supone que la medición es fiel, en el sentido de que existe una relación determinista entre un elemento subcuántico de la realidad física y el valor del observable encontrado en la medición.
