Teorema ergódico subaditivo de Kingman

En matemáticas, el teorema ergódico subaditivo de Kingman es uno de varios teoremas ergódicos . Puede verse como una generalización del teorema ergódico de Birkhoff . ^[1] Intuitivamente, el teorema ergódico subaditivo es una especie de versión de variable aleatoria del lema de Fekete (de ahí el nombre ergódico). ^[2] Como resultado, puede reformularse en el lenguaje de la probabilidad, por ejemplo, utilizando una secuencia de variables aleatorias y valores esperados . El teorema lleva el nombre de John Kingman .

Enunciado del teorema

Sea una transformación que preserva la medida en el espacio de probabilidad y sea una secuencia de funciones tales que (relación de subaditividad). Entonces ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle g_{n+m}(x)\leq g_{n}(x)+g_{m}(T^{n}x)}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}(x)}{n}}=:g(x)\geq -\infty }$

para -ae x , donde g ( x ) es T -invariante. ${\displaystyle \mu }$

En particular, si T es ergódico , entonces g ( x ) es una constante.

Declaración equivalente

Dada una familia de variables aleatorias reales , con , tales que son subaditivas en el sentido de que Entonces existe una variable aleatoria tal que , es invariante con respecto a , y como. ${\textstyle X(m,n)}$ ${\textstyle 0\leq m<n\in \mathbb {N} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&X(m+1,n+1)=X(m,n)\circ T\\&X(0,n)\leq X(0,m)+X(m,n)\end{aligned}}}$$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle Y\in [-\infty ,+\infty )}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}X(0,n)=Y}$

Son equivalentes por configuración

• ${\textstyle g_{n}=X(0,n)}$con ; ${\textstyle n\geq 1}$
• ${\textstyle X(m,m+n)=g_{n}\circ T^{m}}$con . ${\textstyle m\geq 0}$

Prueba

Prueba debida a ( J. Michael Steele , 1989). ^[3]

Subaditividad por partición

Arreglar algunos . Por subaditividad, para cualquier ${\textstyle n\geq 1}$ ${\textstyle l\in 1:n-1}$ $${\displaystyle g_{n}\leq g_{n-l}+g_{l}\circ T^{n-l}}$$

Podemos imaginar esto como comenzar con el conjunto y luego quitarle su cola de longitud. ${\textstyle 0:n-1}$ ${\textstyle l}$

Repitiendo esta construcción hasta que se acabe todo el conjunto, tenemos una correspondencia biunívoca entre los límites superiores de y las particiones de . ${\textstyle 0:n-1}$ ${\textstyle g_{n}}$ ${\textstyle 1:n-1}$

En concreto, sea una partición de , entonces tenemos ${\textstyle \{k_{i}:(k_{i}+l_{i}-1)\}_{i}}$ ${\textstyle 0:n-1}$ $${\displaystyle g_{n}\leq \sum _{i}g_{l_{i}}\circ T^{k_{i}}}$$

Construyendogramo

Sea , entonces es -invariante. ${\textstyle g:=\liminf g_{n}/n}$ ${\textstyle T}$

Por subaditividad, $${\displaystyle {\frac {g_{n+1}}{n+1}}\leq {\frac {g_{1}+g_{n}\circ T}{n+1}}}$$

Tomando el límite, tenemos Podemos visualizarlo como una subida de colinas en el gráfico de . Si en realidad provoca una cantidad no trivial de subida de colinas, entonces obtendríamos una contracción espacial y, por lo tanto, no conserva la medida. Por lo tanto, ae ${\textstyle n\to \infty }$ $${\displaystyle g\leq g\circ T}$$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle g=g\circ T}$

Sea entonces y como ambos lados tienen la misma medida, al apretar, son iguales ae. ${\textstyle c\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \{g\geq c\}\subset \{g\circ T\geq c\}=T^{-1}(\{g\geq c\})}$$

Es decir, , ae. ${\textstyle g(x)\geq c\iff g(Tx)\geq c}$

Ahora aplique esto para todos los racionales . ${\textstyle c}$

Reduciendo al caso degₙ ≤ 0

Por subaditividad, utilizando la partición de en singletons. Ahora, construya la secuencia que satisface para todos los . ${\textstyle 0:n-1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&\leq g_{1}\\g_{2}&\leq g_{1}+g_{1}\circ T\\g_{3}&\leq g_{1}+g_{1}\circ T+g_{1}\circ T^{2}\\&\cdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&=g_{1}-g_{1}\\f_{2}&=g_{2}-(g_{1}+g_{1}\circ T)\\f_{3}&=g_{3}-(g_{1}+g_{1}\circ T+g_{1}\circ T^{2})\\&\cdots \end{aligned}}}$$ ${\textstyle f_{n}\leq 0}$ ${\textstyle n}$

Por el caso especial, converge ae a una función -invariante. ${\textstyle f_{n}/n}$ ${\textstyle T}$

Según el teorema ergódico puntual de Birkhoff, la media móvil converge ae a una función invariante. Por lo tanto, su suma también lo hace. $${\displaystyle {\frac {1}{n}}(g_{1}+g_{1}\circ T+g_{1}\circ T^{2}+\cdots )}$$ ${\textstyle T}$

Limitando el truncamiento

Fijemos arbitrariamente y construyamos la función truncada, aún invariante: Con esto, basta con probar un límite superior de ae ya que nos permitiría tomar el límite , luego el límite , dándonos ae ${\textstyle \epsilon ,M>0}$ ${\textstyle T}$ $${\displaystyle g':=\max(g,-M)}$$ $${\displaystyle \limsup g_{n}/n\leq g'+\epsilon }$$ ${\textstyle \epsilon =1/1,1/2,1/3,\dots }$ ${\textstyle M=1,2,3,\dots }$

$${\displaystyle \limsup g_{n}/n\leq \liminf g_{n}/n=:g}$$Y al comprimir, tenemos ae convergente a . Defina dos familias de conjuntos, una que se encoge hasta el conjunto vacío y otra que crece hasta el conjunto completo. Para cada "longitud" , defina Dado que , la familia se encoge hasta el conjunto vacío. ${\textstyle g_{n}/n}$ ${\textstyle g}$ ${\displaystyle L=1,2,3,\dots }$ $${\displaystyle B_{L}:=\{x:g_{l}/l>g'+\epsilon ,\forall l\in 1,2,\dots ,L\}}$$ $${\displaystyle A_{L}:=B_{N}^{c}=\{x:g_{l}/l\leq g'+\epsilon ,\exists l\in 1,2,\dots ,L\}}$$ ${\textstyle g'\geq \liminf g_{n}/n}$ ${\textstyle B}$

Arreglar . Arreglar . Arreglar . El orden de estos calificadores es de vital importancia, porque los eliminaremos uno por uno en orden inverso. ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle L\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle n>N}$

Para demostrar el límite superior de ae, debemos usar la subaditividad, lo que significa que debemos construir una partición del conjunto . Lo hacemos de manera inductiva: ${\textstyle 0:n-1}$

Tome el más pequeño que no esté ya en una partición. ${\textstyle k}$

Si , entonces para algunos . Tome uno de ellos : la elección no importa. ${\textstyle T^{k}x\in A_{N}}$ ${\textstyle g_{l}(T^{k}x)/l\leq g'(x)+\epsilon }$ ${\textstyle l\in 1,2,\dots L}$ ${\textstyle l}$

Si , entonces eliminamos . Llamamos a estas particiones “tipo 1”. De lo contrario, eliminamos . Llamamos a estas particiones “tipo 2”. ${\textstyle k+l-1\leq n-1}$ ${\textstyle \{k,\dots ,k+l-1\}}$ ${\textstyle \{k\}}$

De lo contrario, cortamos . Llamamos a estas particiones “tipo 3”. ${\textstyle \{k\}}$

Ahora convierta esta partición en una desigualdad: donde son las cabezas de las particiones y son las longitudes. $${\displaystyle g_{n}(x)\leq \sum _{i}g_{l_{i}}(T^{k_{i}}x)}$$ ${\textstyle k_{i}}$ ${\textstyle l_{i}}$

Como todos , podemos eliminar los otros tipos de particiones: Por construcción, cada , por lo tanto Ahora sería tentador continuar con , pero desafortunadamente , por lo que la dirección es exactamente la opuesta. Debemos acotar inferiormente la suma . ${\textstyle g_{n}\leq 0}$ $${\displaystyle g_{n}(x)\leq \sum _{i:{\text{type 1}}}g_{l_{i}}(T^{k_{i}}x)}$$ ${\textstyle g_{l_{i}}(T^{k_{i}}x)\leq l_{i}(g'(x)+\epsilon )}$ $${\displaystyle {\frac {1}{n}}g_{n}(x)\leq g'(x){\frac {1}{n}}\sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}+\epsilon }$$ ${\textstyle g'(x){\frac {1}{n}}\sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}\leq g'(x)}$ ${\textstyle g'\leq 0}$ ${\textstyle \sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}}$

El número de elementos de tipo 3 es igual a Si un número es de tipo 2, entonces debe estar dentro de los últimos elementos de . Por lo tanto, el número de elementos de tipo 2 es como máximo . Juntos, tenemos el límite inferior : $${\displaystyle \sum _{k\in 0:n-1}1_{B_{L}}(T^{k}x)}$$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle L-1}$ ${\textstyle 0:n-1}$ ${\textstyle L-1}$ $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i:{\text{type 1}}}l_{i}\geq 1-{\frac {L-1}{n}}-{\frac {1}{n}}\sum _{k\in 0:n-1}1_{B_{L}}(T^{k}x)}$$

Despegando el primer clasificatorio

Quitar el calificador tomando el límite. ${\textstyle n>N}$ ${\textstyle n\to \infty }$

Por el teorema ergódico puntual de Birkhoff, existe un límite puntual ae que satisface En el límite, encontramos que para ae , $${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}\sum _{k\in 0:n-1}1_{B_{L}}(T^{k}x)\to {\bar {1}}_{B_{L}}(x)}$$
$${\displaystyle \int {\bar {1}}_{B_{L}}=\mu (B_{L});\quad {\bar {1}}_{B_{L}}(x)\in [0,1]}$$ ${\textstyle x\in X,L\in \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {g_{n}(x)}{n}}\leq g'(x)(1-{\bar {1}}_{B_{L}}(x))+\epsilon }$$

Despegando el segundo clasificatorio

Quitar el calificador tomando el límite. ${\textstyle L\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle L\to \infty }$

Como tenemos y como , podemos aplicar el mismo argumento utilizado para demostrar la desigualdad de Markov , para obtener para ae . $${\displaystyle \int {\bar {1}}_{B_{L}}=\mu (B_{L})\to 0}$$ ${\displaystyle {\bar {1}}_{B_{L}}\geq {\bar {1}}_{B_{L+1}}\geq \cdots }$ ${\displaystyle 1_{B_{L}}\geq 1_{B_{L+1}}\geq \cdots }$
$${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {g_{n}(x)}{n}}\leq g'(x)+\epsilon }$$ ${\textstyle x\in X}$

En detalle, el argumento es el siguiente: dado que , y , sabemos que para cualquier , todo lo suficientemente grande satisface en todas partes excepto en un conjunto de tamaño . Por lo tanto, con probabilidad . Ahora tomemos ambos . ${\displaystyle {\bar {1}}_{B_{L}}\geq {\bar {1}}_{B_{L+1}}\geq \cdots \geq 0}$ ${\displaystyle \int {\bar {1}}_{B_{L}}\to 0}$ ${\displaystyle \delta ,\delta '>0}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\bar {1}}_{B_{L}}(x)<\delta }$ ${\displaystyle \geq \delta '}$ $${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {g_{n}(x)}{n}}\leq g'(x)(1-\delta )+\epsilon }$$ ${\displaystyle \geq 1-\delta '}$ ${\displaystyle \delta ,\delta '\to 0}$

Aplicaciones

Tomando como base se recupera el teorema ergódico puntual de Birkhoff. ${\displaystyle g_{n}(x):=\sum _{j=0}^{n-1}f(T^{j}x)}$

Tomando todas las funciones constantes, recuperamos el lema subaditivo de Fekete. ${\displaystyle g_{n}}$

El teorema ergódico subaditivo de Kingman se puede utilizar para demostrar afirmaciones sobre los exponentes de Lyapunov . También tiene aplicaciones en percolaciones y en la subsecuencia creciente más larga . ^[4]

Subsecuencia creciente más larga

Para estudiar la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria , la generamos de manera equivalente. Una permutación aleatoria en se genera de manera equivalente muestreando uniformemente puntos en un cuadrado y luego encontramos la subsecuencia creciente más larga de esa. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 1:n}$ ${\displaystyle n}$

Ahora, defina el proceso puntual de Poisson con densidad 1 en , y defina las variables aleatorias como la longitud de la subsecuencia creciente más larga en el cuadrado . Defina la transformación que preserva la medida desplazando el plano en , y luego cortando las partes que se han caído de . ${\displaystyle [0,\infty )^{2}}$ ${\displaystyle M_{k}^{*}}$ ${\displaystyle [0,k)^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (-1,-1)}$ ${\displaystyle [0,\infty )^{2}}$

El proceso es subaditivo, es decir, . Para ver esto, observe que el lado derecho construye una subsucesión creciente primero en el cuadrado , luego en el cuadrado y finalmente los concatena. Esto produce una subsucesión creciente en , pero no necesariamente la más larga. ${\displaystyle M_{k+m}^{*}\geq M_{k}^{*}+M_{m}^{*}\circ T^{k}}$ ${\displaystyle [0,k)^{2}}$ ${\displaystyle [k,k+m)^{2}}$ ${\displaystyle [0,k+m)^{2}}$

Además, es ergódico, por lo que, según el teorema de Kingman, converge a una constante casi con seguridad. Como en el límite hay puntos en el cuadrado, converge a una constante casi con seguridad. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M_{k}^{*}/k}$ ${\displaystyle n=k^{2}}$ ${\displaystyle L_{n}^{*}/{\sqrt {n}}}$

Referencias

1. S. Lalley, notas de clase sobre el teorema ergódico subaditivo de Kingman, http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/Graz/Kingman.pdf
2. Chen. "Teoremas ergódicos subaditivos" (PDF) . Universidad de Nueva York.
3. Steele, J. Michael (1989). "Teorema ergódico subaditivo de Kingman" (PDF) . Annales de l'IHP Probabilités et statistiques . 25 (1): 93–98. ISSN  1778-7017.
4. Pitman, Lección 12: Teoría ergódica subaditiva, http://www.stat.berkeley.edu/~pitman/s205s03/lecture12.pdf