Solución de negociación entre Kalai y Smorodinsky

Solución de teoría de juegos

La solución de negociación Kalai-Smorodinsky (KS) es una solución al problema de la negociación . Fue sugerida por Ehud Kalai y Meir Smorodinsky ^[1] como una alternativa a la solución de negociación de Nash sugerida 25 años antes. La principal diferencia entre las dos soluciones es que la solución de Nash satisface la independencia de alternativas irrelevantes , mientras que la solución KS, en cambio, satisface la monotonía de los recursos .

Configuración

Un problema de negociación entre dos personas consta de un par : ${\displaystyle (F,d)}$

• Un conjunto de acuerdos factibles . Se trata de un subconjunto cerrado y convexo de . Cada elemento de representa un posible acuerdo entre los jugadores. Las coordenadas de un acuerdo son las utilidades de los jugadores si se implementa este acuerdo. La suposición de que es convexa tiene sentido, por ejemplo, cuando es posible combinar acuerdos mediante aleatorización. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$
• Un punto de desacuerdo , donde y son los pagos respectivos para el jugador 1 y el jugador 2 cuando la negociación termina sin un acuerdo. ${\displaystyle d=(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

Se supone que el problema no es trivial, es decir, los acuerdos son mejores para ambas partes que el desacuerdo. ${\displaystyle F}$

Una solución de negociación es una función que toma un problema de negociación y devuelve un punto en su conjunto de acuerdos factibles, . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (F,d)}$ ${\displaystyle f(F,d)\in F}$

Requisitos de las soluciones de negociación

Las soluciones de Nash y KS coinciden en los tres requisitos siguientes:

La optimización en el sentido de Pareto es una condición necesaria. En cualquier problema de negociación, el acuerdo resultante debe ser eficiente en el sentido de Pareto. ${\displaystyle f(F,d)}$

La simetría también es necesaria. Los nombres de los jugadores no deberían importar: si el jugador 1 y el jugador 2 intercambian sus utilidades, entonces el acuerdo debería cambiar en consecuencia.

La invariancia de las transformaciones afines positivas también parece una condición necesaria: si la función de utilidad de uno o más jugadores se transforma mediante una función lineal, entonces el acuerdo también debería transformarse mediante la misma función lineal. Esto tiene sentido si asumimos que las funciones de utilidad son solo representaciones de una relación de preferencia y no tienen un significado numérico real.

Además de estos requisitos, Nash exige la independencia de alternativas irrelevantes (IIA). Esto significa que, si el conjunto de posibles acuerdos crece (se hacen posibles más acuerdos), pero la solución de negociación elige un acuerdo que estaba contenido en el conjunto más pequeño, entonces este acuerdo debe ser el mismo que el acuerdo alcanzado cuando solo estaba disponible el conjunto más pequeño, ya que los nuevos acuerdos son irrelevantes. Por ejemplo, supongamos que el domingo podemos acordar la opción A o la opción B, y elegimos la opción A. Luego, el lunes podemos acordar la opción A o B o C, pero no elegimos la opción C. Entonces, Nash dice que debemos elegir la opción A. La nueva opción C es irrelevante ya que no la seleccionamos de todos modos.

Kalai y Smorodinsky difieren de Nash en este punto. Sostienen que el conjunto completo de alternativas debe afectar el acuerdo alcanzado. En el ejemplo anterior, supongamos que la relación de preferencia del jugador 2 es: C>>B>A (C es mucho mejor que B, que es algo mejor que A) mientras que la relación de preferencia del jugador 1 es la inversa: A>>B>>C. El hecho de que la opción C esté disponible permite al jugador 2 decir: "si renuncio a mi mejor opción - C, tengo derecho a exigir que se elija al menos mi segunda mejor opción".

Por lo tanto, KS elimina el requisito de IIA y, en su lugar, añade un requisito de monotonía . Este requisito dice que, para cada jugador, si la utilidad que este jugador puede obtener por cada utilidad del otro jugador es ligeramente mayor, entonces la utilidad que este jugador obtiene en el acuerdo seleccionado también debería ser ligeramente mayor. En otras palabras, un jugador con mejores opciones debería obtener un acuerdo ligeramente mejor.

La definición formal de monotonía se basa en las siguientes definiciones.

• ${\displaystyle Best_{i}(F)}$- El mejor valor que puedo esperar obtener como jugador en un acuerdo viable.
• ${\displaystyle Best_{i}(F,u)}$- el mejor valor que el jugador i puede esperar obtener en un acuerdo factible en el que la utilidad del otro jugador es (si el otro jugador nunca puede recibir una utilidad de , entonces se define como ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Best_{i}(F,u)}$ ${\displaystyle Best_{i}(F)}$

El requisito de monotonía dice que, si y son dos problemas de negociación tales que: ${\displaystyle (F,d)}$ ${\displaystyle (F',d)}$

• ${\displaystyle Best_{1}(F)=Best_{1}(F')}$
• Para cada u , ${\displaystyle Best_{2}(F,u)\leq Best_{2}(F',u)}$

Entonces, la solución f debe satisfacer:

• ${\displaystyle f_{2}(F,d)\leq f_{2}(F',d)}$

En palabras de KS:

"Si por cada nivel de utilidad que el jugador 1 puede exigir se incrementa el nivel de utilidad máximo factible que el jugador 2 puede alcanzar simultáneamente, entonces el nivel de utilidad asignado al jugador 2 según la solución también debería incrementarse".

Por simetría, el mismo requisito se cumple si intercambiamos los roles de los jugadores 1 y 2.

La solución KS

La solución KS se puede calcular geométricamente de la siguiente manera.

Sea el punto de mejores utilidades . Trace una línea desde (el punto de desacuerdo) hasta (el punto de mejores utilidades). ${\displaystyle b(F)}$ ${\displaystyle (Best_{1}(F),Best_{2}(F))}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b}$

Por el supuesto de no trivialidad, la línea tiene pendiente positiva. Por la convexidad de , la intersección de con el conjunto es un intervalo. La solución KS es el punto superior derecho de este intervalo. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F}$

Matemáticamente, la solución KS es el punto máximo que mantiene las proporciones de ganancias, es decir, es un punto en la frontera de Pareto de , tal que: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mu _{1}-d_{1} \over \mu _{2}-d_{2}}={Best_{1}(F)-d_{1} \over Best_{2}(F)-d_{2}}}$

Ejemplos

Alice y George tienen que elegir entre tres opciones, que les dan las siguientes cantidades de dinero: ^{[2] : 88–92} Supongamos para los fines del ejemplo que la utilidad es lineal en el dinero y que el dinero no se puede transferir de una parte a la otra.

También pueden mezclar estas opciones en fracciones arbitrarias. Por ejemplo, pueden elegir la opción a para una fracción x del tiempo, la opción b para la fracción y y la opción c para la fracción z, de modo que: . Por lo tanto, el conjunto de acuerdos factibles es la envoltura convexa de a(60,80) y b(50,110) y c(30,150). ${\displaystyle x+y+z=1}$ ${\displaystyle F}$

El punto de desacuerdo se define como el punto de utilidad mínima: es 30 para Alice y 80 para George, por lo que d=(30,80).

Tanto para las soluciones de Nash como de KS, tenemos que normalizar las utilidades de los agentes restando los valores de desacuerdo, ya que solo nos interesan las ganancias que los jugadores pueden recibir por encima de este punto de desacuerdo. Por lo tanto, los valores normalizados son:

La solución de negociación de Nash maximiza el producto de las utilidades normalizadas:

${\displaystyle \max log(30x+20y)+log(30y+70z)}$

El máximo se alcanza cuando y y (es decir, la opción b se utiliza el 87,5% del tiempo y la opción c se utiliza el tiempo restante). La ganancia de utilidad de Alice es $17,5 y la de George $35. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=7/8}$ ${\displaystyle z=1/8}$

La solución de negociación KS iguala las ganancias relativas (la ganancia de cada jugador en relación con su máxima ganancia posible) y maximiza este valor igual:

${\displaystyle \max {30x+20y \over 30}={30y+70z \over 70}}$

Aquí, el máximo se alcanza cuando y y . La ganancia de utilidad de Alice es $16,1 y la de George $37,7. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=21/26}$ ${\displaystyle z=5/26}$

Obsérvese que ambas soluciones son superiores en el sentido de Pareto a la solución "dictatorial aleatoria", es decir, la solución que selecciona un dictador al azar y le permite elegir su mejor opción. Esta solución es equivalente a dejar que y y , lo que le da una ganancia de utilidad de solo $15 a Alice y $35 a George. ${\displaystyle x=1/2}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle z=1/2}$

Véase también

• Monotonía de recursos

Referencias

1. Kalai, Ehud y Smorodinsky, Meir (1975). "Otras soluciones al problema de negociación de Nash". Econometrica . 43 (3): 513–518. doi :10.2307/1914280. JSTOR  1914280.
2. Hervé Moulin (2004). División justa y bienestar colectivo . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.