Mapa de Jordania

En física teórica, el mapa de Jordan , a menudo también llamado mapa de Jordan-Schwinger , es un mapa de matrices M _ij a expresiones bilineales de osciladores cuánticos que acelera el cálculo de representaciones de álgebras de Lie que ocurren en física. Fue introducido por Pascual Jordan en 1935 ^[1] y fue utilizado por Julian Schwinger ^[2] en 1952 para reelaborar la teoría del momento angular cuántico de manera eficiente, dada la facilidad de ese mapa para organizar las representaciones (simétricas) de su(2) en el espacio de Fock .

El mapa utiliza varios operadores de creación y aniquilación de uso rutinario en teorías cuánticas de campos y problemas de muchos cuerpos , cada par representa un oscilador armónico cuántico . Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema de múltiples bosones son: ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle a_{i}^{\,}}$

${\displaystyle [a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,}$

¿Dónde está el conmutador y es el delta de Kronecker ? ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Estos operadores cambian los valores propios del operador numérico ,

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}}$,

por uno, como en el caso de los osciladores armónicos cuánticos multidimensionales .

El mapa de Jordan de un conjunto de matrices M _ij a operadores bilineales del espacio de Fock M ,

${\displaystyle {\mathbf {M} }\qquad \longmapsto \qquad M\equiv \sum _{i,j}a_{i}^{\dagger }{\mathbf {M} }_{ij}a_{j}~,}$

es claramente un isomorfismo del álgebra de Lie , es decir, los operadores M satisfacen las mismas relaciones de conmutación que las matrices M .

El ejemplo del momento angular

Por ejemplo, la imagen de las matrices de Pauli de SU(2) en este mapa,

${\displaystyle {\vec {J}}\equiv {\mathbf {a} }^{\dagger }\cdot {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\mathbf {a} }~,}$

para dos vectores a ^† s, y a s satisfacen también las mismas relaciones de conmutación de SU(2), y además, por confianza en la relación de completitud para matrices de Pauli ,

${\displaystyle J^{2}\equiv {\vec {J}}\cdot {\vec {J}}={\frac {N}{2}}\left({\frac {N}{2}}+1\right).}$

Este es el punto de partida del tratamiento que Schwinger hace de la teoría del momento angular cuántico, basada en la acción de estos operadores sobre estados de Fock construidos a partir de potencias superiores arbitrarias de dichos operadores. Por ejemplo, si actúan sobre un estado propio de Fock (no normalizado),

${\displaystyle J^{2}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {k+n}{2}}\left({\frac {k+n}{2}}+1\right)~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,}$

mientras

${\displaystyle J_{z}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {1}{2}}\left(k-n\right)a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,}$

de modo que, para j = ( k+n )/2, m = ( k−n )/2 , esto es proporcional al estado propio | j , m ⟩ , ^[3]

${\displaystyle |j,m\rangle ={\frac {a_{1}^{\dagger ~k}a_{2}^{\dagger ~n}}{\sqrt {k!~n!}}}|0\rangle ={\frac {a_{1}^{\dagger ~(j+m)}a_{2}^{\dagger ~(j-m)}}{\sqrt {(j+m)!~(j-m)!}}}|0\rangle ~.}$

Observar y , así como . ${\displaystyle J_{+}=a_{1}^{\dagger }a_{2}}$ ${\displaystyle J_{-}=a_{2}^{\dagger }a_{1}}$ ${\displaystyle J_{z}=(a_{1}^{\dagger }a_{1}-a_{2}^{\dagger }a_{2})/2}$

Fermiones

Las representaciones antisimétricas de las álgebras de Lie pueden adaptarse además mediante el uso de los operadores fermiónicos y , como también lo sugiere Jordan. Para los fermiones , el conmutador se reemplaza por el anticonmutador , ${\displaystyle b_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle b_{i}^{\,}}$ ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \}}$

${\displaystyle \{b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\}\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }+b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle \{b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\}=\{b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\}=0.}$

Por lo tanto, el intercambio de operadores disjuntos (es decir, ) en un producto de creación de operadores de aniquilación invertirá el signo en sistemas de fermiones, pero no en sistemas de bosones. Este formalismo ha sido utilizado ^[4] por AA Abrikosov en la teoría del efecto Kondo para representar el espín localizado 1/2, y se denomina fermiones de Abrikosov en la literatura de física del estado sólido. ${\displaystyle i\neq j}$

Véase también

• Teorema de Borel-Weil-Bott
• Álgebra actual
• Operador de momento angular
• Transformación de Klein
• Transformación de Bogoliubov
• Transformación de Holstein-Primakoff
• Transformación de Jordan-Wigner
• Coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3)#Grupo de simetría del operador hamiltoniano del oscilador 3D

Referencias

1. Jordán, Pascual (1935). "Der Zusammenhang der symmetrischen und linearen Gruppen und das Mehrkörperproblem", Zeitschrift für Physik 94 , números 7-8, 531-535
2. Schwinger, J. (1952). "On Angular Momentum", Informe inédito, Universidad de Harvard, Nuclear Development Associates, Inc., Departamento de Energía de los Estados Unidos (a través de su organismo predecesor, la Comisión de Energía Atómica ), Informe número NYO-3071 (26 de enero de 1952).
3. Sakurai, JJ; Napolitano, Jim (2011). Mecánica cuántica moderna (2.ª ed.). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8291-4.OCLC 641998678  .
4. Abrikosov, AA (1965-09-01). "Dispersión de electrones en impurezas magnéticas en metales y efectos de resistividad anómalos". Física Física Fizika . 2 (1): 5–20. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.5 . ISSN  0554-128X.