Jacobi-expansión de la ira

Expansión de exponenciales de funciones trigonométricas en base a sus armónicos.

En matemáticas , la expansión de Jacobi-Anger (o identidad de Jacobi-Anger ) es una expansión de exponenciales de funciones trigonométricas en base a sus armónicos. Es útil en física (por ejemplo, para convertir entre ondas planas y ondas cilíndricas) y en procesamiento de señales (para describir señales de FM ). Esta identidad lleva el nombre de los matemáticos del siglo XIX Carl Jacobi y Carl Theodor Anger .

La identidad más general viene dada por: ^{[1] [2]}

${\displaystyle e^{iz\cos \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta },}$

donde es la -ésima función de Bessel de primer tipo y es la unidad imaginaria , Sustituyendo por , también obtenemos: ${\displaystyle J_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle i^{2}=-1.}$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta -{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle e^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in\theta }.}$

Usando la relación válida para entero , la expansión se convierte en: ^{[1] [2]} ${\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}\,J_{n}(z),}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e^{iz\cos \theta }\equiv J_{0}(z)\,+\,2\,\sum _{n=1}^{\infty }\,i^{n}\,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta ).}$

Expresiones de valor real

Las siguientes variaciones de valor real también suelen ser útiles: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&\equiv -2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}}$

Expresiones igualmente útiles de la Serie Sung: ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{2\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu }(x)&={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}\right],\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{4\nu }(x)&=\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}$

Ver también

• Expansión de onda plana

Notas

1. Colton y Kress (1998) pág. 32.
2. Cuyt et al. (2008) pág. 344.
3. Abramowitz y Stegun (1965) pág. 361, 9.1.42–45
4. Cantado, S.; Hovden, R. (2022). "Sobre series infinitas de funciones de Bessel del primer tipo". arXiv : 2211.01148 [matemáticas-ph].
5. Watson, GN (1922). "Un tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel". Prensa de la Universidad de Cambridge .

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 9". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 355.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
• Colton, David; Kress, Rainer (1998), Teoría de la dispersión acústica y electromagnética inversa , Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol. 93 (2ª ed.), ISBN 978-3-540-62838-5
• Cuyt, Annie ; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008), Manual de fracciones continuas para funciones especiales , Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Expansión de Jacobi-Anger". MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 11 de noviembre de 2008 .