Coordenadas de Jacobi para el problema de dos cuerpos ; Las coordenadas de Jacobi son y con . [1]Un posible conjunto de coordenadas de Jacobi para el problema de cuatro cuerpos; las coordenadas de Jacobi son r 1 , r 2 , r 3 y el centro de masa R . Véase Cornille. [2]
En la teoría de sistemas de muchas partículas, las coordenadas de Jacobi se utilizan a menudo para simplificar la formulación matemática. Estas coordenadas son particularmente comunes en el tratamiento de moléculas poliatómicas y reacciones químicas , [3] y en la mecánica celeste . [4] Un algoritmo para generar las coordenadas de Jacobi para N cuerpos puede basarse en árboles binarios . [5] En palabras, el algoritmo se describe de la siguiente manera: [5]
Sean m j y m k las masas de dos cuerpos que se reemplazan por un nuevo cuerpo de masa virtual M = m j + m k . Las coordenadas de posición x j y x k se reemplazan por su posición relativa r jk = x j − x k y por el vector a su centro de masa R jk = ( m j q j + m k q k )/( m j + mk ) . El nodo en el árbol binario correspondiente al cuerpo virtual tiene m j como hijo derecho y m k como hijo izquierdo. El orden de los niños indica los puntos de coordenadas relativas de x k a x j . Repita el paso anterior para N − 1 cuerpos, es decir, los N − 2 cuerpos originales más el nuevo cuerpo virtual.
Para el problema de N -cuerpos el resultado es: [2]
con
El vector es el centro de masa de todos los cuerpos y es la coordenada relativa entre las partículas 1 y 2:
El resultado que nos queda es, por tanto, un sistema de N -1 coordenadas traslacionalmente invariantes y una coordenada del centro de masa , resultante de la reducción iterativa de sistemas de dos cuerpos dentro del sistema de muchos cuerpos.
Este cambio de coordenadas tiene asociado jacobiano igual a .
Si uno está interesado en evaluar un operador de energía libre en estas coordenadas, se obtiene
En los cálculos puede ser útil la siguiente identidad
.
Referencias
^ David Bétounes (2001). Ecuaciones diferenciales . Saltador. pag. 58; Figura 2.15. ISBN 0-387-95140-7.
^ ab Patrick Cornille (2003). "División de fuerzas mediante coordenadas de Jacobi". Electromagnetismo avanzado y física del vacío . Científico mundial. pag. 102.ISBN981-238-367-0.
^ John ZH Zhang (1999). Teoría y aplicación de la dinámica molecular cuántica. Científico mundial . pag. 104.ISBN981-02-3388-4.
^ ab Hildeberto Cabral, Florin Diacu (2002). "Apéndice A: Transformaciones canónicas a coordenadas de Jacobi". Mecánica clásica y celeste . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 230.ISBN0-691-05022-8.