La fórmula de Rodrigues

Fórmula para los polinomios de Legendre

En matemáticas , la fórmula de Rodrigues (anteriormente llamada fórmula de Ivory-Jacobi ) genera los polinomios de Legendre . Fue introducido de forma independiente por Olinde Rodrigues  (1816), Sir James Ivory  (1824) y Carl Gustav Jacobi  (1827). El nombre "fórmula de Rodrigues" fue introducido por Heine en 1878, después de que Hermite señalara en 1865 que Rodrigues fue el primero en descubrirla. El término también se utiliza para describir fórmulas similares para otros polinomios ortogonales . Askey (2005) describe en detalle la historia de la fórmula de Rodrigues.

Declaración

Sea una secuencia de polinomios ortogonales definida en el intervalo que satisface la condición de ortogonalidad donde es una función de peso adecuada, es una constante que depende de y es el delta de Kronecker . Si la función de peso satisface la siguiente ecuación diferencial (llamada ecuación diferencial de Pearson), donde es un polinomio con grado como máximo 1 y es un polinomio con grado como máximo 2 y, además, los límites Entonces se puede demostrar que satisface una relación de la forma, para algunas constantes . Esta relación se llama fórmula tipo de Rodrigues , o simplemente fórmula de Rodrigues . ^[1] ${\displaystyle (P_{n}(x))_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},}$$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta _{m,n}}$ ${\displaystyle w(x)}$ $${\displaystyle {\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},}$$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0.}$$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right],}$$ ${\displaystyle c_{n}}$

Las aplicaciones más conocidas de las fórmulas tipo de Rodrigues son las fórmulas para los polinomios de Legendre , Laguerre y Hermite :

Rodrigues expuso su fórmula para los polinomios de Legendre : ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[(x^{2}-1)^{n}\right]\!.}$$

Los polinomios de Laguerre generalmente se denotan como L ₀ ,  L ₁ , ..., y la fórmula de Rodrigues se puede escribir como $${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[e^{-x}x^{n}\right]={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$$

La fórmula de Rodrigues para los polinomios de Hermite se puede escribir como $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[e^{-x^{2}}\right]=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

Fórmulas similares son válidas para muchas otras secuencias de funciones ortogonales que surgen de las ecuaciones de Sturm-Liouville , y en ese caso también se denominan fórmula de Rodrigues (o fórmula tipo Rodrigues), especialmente cuando la secuencia resultante es polinómica.

Referencias

1. "Fórmula de Rodrigues - Enciclopedia de Matemáticas". www.encyclopediaofmath.org . Consultado el 18 de abril de 2018 .

• Askey, Richard (2005), "El artículo de 1839 sobre permutaciones: su relación con la fórmula de Rodrigues y desarrollos posteriores", en Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (eds.), Matemáticas y utopías sociales en Francia: Olinde Rodrigues y su época , Historia de las matemáticas, vol. 28, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 105-118, ISBN 978-0-8218-3860-0
• Ivory, James (1824), "Sobre la figura necesaria para mantener el equilibrio de una masa fluida homogénea que gira sobre un eje", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 114 , The Royal Society: 85–150, doi : 10.1098 /rstl.1824.0008 , JSTOR  107707
• Jacobi, CGJ (1827), "Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z2)1/2 entstehen.", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 2 : 223 –226, doi :10.1515/crll.1827.2.223, ISSN  0075-4102, S2CID  120291793
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Olinde Rodrigues", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Rodrigues, Olinde (1816), "De l'attraction des sphéroïdes", Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique , (Tesis para la Facultad de Ciencias de la Universidad de París), 3 (3): 361–385