Potencial cuadrado inverso

En mecánica cuántica, el potencial cuadrado inverso es una forma de un potencial de fuerza central que tiene la propiedad inusual de que los estados propios del operador hamiltoniano correspondiente permanecen como estados propios en una escala de todas las coordenadas cartesianas por la misma constante. ^[1] Aparte de esta característica curiosa, es un problema de fuerza central mucho menos importante que el del sistema de fuerza cuadrado inverso kepleriano .

Descripción

La función de energía potencial de un potencial cuadrado inverso es

${\displaystyle V(r)=-{\frac {C}{r^{2}}}}$,

donde es una constante y es la distancia euclidiana desde un punto central. Si es positivo, el potencial es atractivo y si es negativo, el potencial es repulsivo. El operador hamiltoniano correspondiente es ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}})}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}}$,

¿Dónde está la masa de la partícula que se mueve en el potencial? ${\displaystyle m}$

Propiedades

La relación de conmutación canónica de la mecánica cuántica, , tiene la propiedad de ser invariante en una escala ${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}]=i\hbar }$

${\displaystyle {\hat {p}}_{i}'={\hat {p}}_{i}/\lambda }$, y , ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}'=\lambda {\hat {x}}_{i}}$

donde es un factor de escala. El momento y la posición son vectores, mientras que los componentes y el radio son escalares. En un sistema de potencial cuadrado inverso, si una función de onda es una función propia del operador hamiltoniano , también es una función propia del operador , donde los operadores escalados y se definen como se indicó anteriormente. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \psi (r)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})}$ ${\displaystyle {\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }}',{\hat {\mathbf {x} }}')}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}'}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}'}$

Esto también significa que si una función de onda radialmente simétrica es una función propia de con valor propio , entonces también es una función propia, con valor propio . Por lo tanto, el espectro de energía del sistema es un continuo de valores. ${\displaystyle \psi (r)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi (\lambda r)}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}E}$

El sistema con una partícula en un potencial cuadrado inverso con potencial positivo (potencial atractivo) es un ejemplo del llamado problema de caída al centro , donde no existe una función de onda de energía más baja y existen funciones propias donde la partícula está arbitrariamente localizada en la vecindad del punto central . ^[2] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle r=0}$

Véase también

• Relación de conmutación canónica
• Fuerza central
• Invariancia de escala

Referencias

1. Martínez-y-Romero, RP; Núñez-Yépez, HN; Salas-Brito, AL (2013). «El movimiento bidimensional de una partícula en un potencial cuadrado inverso: aspectos clásicos y cuánticos» (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 54 (5): 053509. doi :10.1063/1.4804356. ISSN  0022-2488. Archivado desde el original (PDF) el 2019-02-04 . Consultado el 2017-06-11 .
2. Vasyuta, Vasyl M.; Tkachuk, Volodymyr M. (2016). "Caída de una partícula cuántica en un potencial atractivo cuadrado inverso". The European Physical Journal D . 70 (12). arXiv : 1505.04750 . doi :10.1140/epjd/e2016-70463-3. ISSN  1434-6060. S2CID  118371904.