Introducción a las celosías y el orden es un libro de texto matemático sobre la teoría del orden escrito por Brian A. Davey y Hilary Priestley . Fue publicado por Cambridge University Press en su serie Cambridge Mathematical Textbooks en 1990, [1] [2] [3] con una segunda edición en 2002. [4] [5] [6] La segunda edición es significativamente diferente en sus temas y organización, y fue revisada para incorporar desarrollos recientes en el área, especialmente en sus aplicaciones a la informática . [4] [6] El Comité de la Lista Básica de Bibliotecas de la Asociación Matemática de Estados Unidos ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [7]
Ambas ediciones del libro tienen 11 capítulos; en el segundo libro están organizados con los primeros cuatro proporcionando una referencia general para matemáticos y científicos informáticos, y los siete restantes centrándose en material más especializado para lógicos , topólogos y teóricos de redes . [4]
El primer capítulo trata de los conjuntos parcialmente ordenados , con un ejemplo fundamental dado por las funciones parciales ordenadas por la relación de subconjuntos en sus gráficos , y cubre conceptos fundamentales que incluyen elementos superiores e inferiores y conjuntos superiores e inferiores . Estas ideas conducen al segundo capítulo, sobre los retículos , en el que cada dos elementos (o en retículos completos , cada conjunto) tiene un límite inferior máximo y un límite superior mínimo . Este capítulo incluye la construcción de un retículo a partir de los conjuntos inferiores de cualquier orden parcial, y el teorema de Knaster-Tarski que construye un retículo a partir de los puntos fijos de funciones que preservan el orden en un retículo completo. El capítulo tres trata del análisis formal de conceptos , su construcción de "retículos de conceptos" a partir de colecciones de objetos y sus propiedades, donde cada elemento del retículo representa tanto un conjunto de objetos como un conjunto de propiedades que poseen esos objetos, y la universalidad de esta construcción para formar retículos completos. El cuarto de los capítulos introductorios trata de clases especiales de redes, incluidas las redes modulares , las redes distributivas y las redes booleanas . [5]
En la segunda parte del libro, el capítulo 5 trata del teorema de que cada red booleana finita es isomorfa a la red de subconjuntos de un conjunto finito, y (menos trivialmente) el teorema de representación de Birkhoff según el cual cada red distributiva finita es isomorfa a la red de conjuntos inferiores de un orden parcial finito. El capítulo 6 cubre las relaciones de congruencia en redes. Los temas del capítulo 7 incluyen operaciones de cierre y conexiones de Galois en órdenes parciales, y la compleción de Dedekind-MacNeille de un orden parcial en la red completa más pequeña que lo contiene. Los dos capítulos siguientes tratan de órdenes parciales completos , sus teoremas de punto fijo, sistemas de información y sus aplicaciones a la semántica denotacional . El capítulo 10 analiza los equivalentes teóricos del orden del axioma de elección , incluidas las extensiones de los teoremas de representación del capítulo 5 a redes infinitas, y el capítulo final analiza la representación de redes con espacios topológicos , incluido el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole y la teoría de dualidad para redes distributivas . [5]
Dos apéndices proporcionan antecedentes en topología necesarios para el capítulo final y una bibliografía comentada. [6]
Este libro está dirigido a estudiantes de posgrado principiantes, [2] aunque también podría ser utilizado por estudiantes de pregrado avanzados. [6] Sus numerosos ejercicios lo hacen adecuado como libro de texto de curso, [2] [3] y sirve tanto para completar los detalles de la exposición del libro como para proporcionar sugerencias sobre temas adicionales. [5] Aunque se requiere cierta sofisticación matemática de sus lectores, los principales requisitos previos son las matemáticas discretas , el álgebra abstracta y la teoría de grupos . [2] [5]
Al escribir sobre la primera edición, el crítico Josef Niederle la llama "un libro de texto excelente", "actualizado y claro". [3] De manera similar, Thomas S. Blyth elogia la primera edición como "un relato bien escrito, satisfactorio, informativo y estimulante de aplicaciones que son de gran interés", [1] y en una revisión actualizada escribe que la segunda edición es tan buena como la primera. [4] Asimismo, aunque Jon Cohen tiene algunas objeciones con el orden y la selección de temas (particularmente la inclusión de congruencias a expensas de una visión de la materia basada en la teoría de categorías ), concluye que el libro es "una introducción maravillosa y accesible a la teoría de redes, de igual interés tanto para los científicos informáticos como para los matemáticos". [5]
Tanto Blyth como Cohen destacan el hábil uso de LaTeX en el libro para crear sus diagramas y sus útiles descripciones de cómo se hicieron los diagramas. [1] [5]