Interpolación de splines discreta

En el campo matemático del análisis numérico , la interpolación spline discreta es una forma de interpolación donde el interpolante es un tipo especial de polinomio por partes llamado spline discreto. Un spline discreto es un polinomio por partes tal que sus diferencias centrales son continuas en los nudos, mientras que un spline es un polinomio por partes tal que sus derivadas son continuas en los nudos. Los splines cúbicos discretos son splines discretos donde se requiere que las diferencias centrales de órdenes 0, 1 y 2 sean continuas. ^[1]

Los splines discretos fueron introducidos por Mangasarin y Schumaker en 1971 como soluciones a ciertos problemas de minimización que involucraban diferencias. ^[2]

Splines cúbicos discretos

Sea x ₁ , x ₂ , . . ., x _{n -1} una sucesión creciente de números reales. Sea g ( x ) un polinomio por partes definido por

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}g_{1}(x)&x<x_{1}\\g_{i}(x)&x_{i-1}\leq x<x_{i}{\text{ for }}i=2,3,\ldots ,n-1\\g_{n}(x)&x\geq x_{n-1}\end{cases}}}$

donde g ₁ ( x ), . . ., g _n ( x ) son polinomios de grado 3. Sea h > 0. Si

${\displaystyle (g_{i+1}-g_{i})(x_{i}+jh)=0{\text{ for }}j=-1,0,1{\text{ and }}i=1,2,\ldots ,n-1}$

Entonces g ( x ) se llama spline cúbico discreto. ^[1]

Formulación alternativa 1

Las condiciones que definen un spline cúbico discreto son equivalentes a las siguientes:

${\displaystyle g_{i+1}(x_{i}-h)=g_{i}(x_{i}-h)}$

${\displaystyle g_{i+1}(x_{i})=g_{i}(x_{i})}$

${\displaystyle g_{i+1}(x_{i}+h)=g_{i}(x_{i}+h)}$

Formulación alternativa 2

Las diferencias centrales de los órdenes 0, 1 y 2 de una función f ( x ) se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle D^{(0)}f(x)=f(x)}$

${\displaystyle D^{(1)}f(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$

${\displaystyle D^{(2)}f(x)={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}}$

Las condiciones que definen un spline cúbico discreto también son equivalentes a ^[1]

${\displaystyle D^{(j)}g_{i+1}(x_{i})=D^{(j)}g_{i}(x_{i}){\text{ for }}j=0,1,2{\text{ and }}i=1,2,\ldots ,n-1.}$

Esto establece que las diferencias centrales son continuas en x _i . ${\displaystyle D^{(j)}g(x)}$

Ejemplo

Sea x ₁ = 1 y x ₂ = 2 de modo que n = 3. La siguiente función define un spline cúbico discreto: ^[1]

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{3}&x<1\\x^{3}-2(x-1)((x-1)^{2}-h^{2})&1\leq x<2\\x^{3}-2(x-1)((x-1)^{2}-h^{2})+(x-2)((x-2)^{2}-h^{2})&x\geq 2\end{cases}}}$

Interpolador spline cúbico discreto

Sea x ₀ < x ₁ y x _n > x _{n -1} y f ( x ) una función definida en el intervalo cerrado [ x ₀ - h, x _n + h]. Entonces existe una única spline cúbica discreta g ( x ) que satisface las siguientes condiciones:

${\displaystyle g(x_{i})=f(x_{i}){\text{ for }}i=0,1,\ldots ,n.}$

${\displaystyle D^{(1)}g_{1}(x_{0})=D^{(1)}f(x_{0}).}$

${\displaystyle D^{(1)}g_{n}(x_{n})=D^{(1)}f(x_{n}).}$

Este spline cúbico discreto único es el interpolante de spline discreto para f ( x ) en el intervalo [ x ₀ - h, x _n + h]. Este interpolante concuerda con los valores de f ( x ) en x ₀ , x ₁ , . . ., x _n .

Aplicaciones

• Los splines cúbicos discretos se introdujeron originalmente como soluciones a ciertos problemas de minimización. ^{[1] [2]}
• Tienen aplicaciones en el cálculo de splines no lineales. ^{[1] [3]}
• Se utilizan para obtener una solución aproximada de un problema de valor límite de segundo orden. ^[4]
• Se han utilizado splines interpolatorios discretos para construir wavelets biortogonales. ^[5]

Referencias

1. Tom Lyche (1979). "Interpolación de splines cúbicos discretos". BIT . 16 (3): 281–290. doi :10.1007/bf01932270. S2CID  122300608.
2. Mangasarian, OL; Schumaker, LL (1971). "Splines discretos mediante programación matemática". SIAM J. Control . 9 (2): 174–183. doi :10.1137/0309015.
3. Michael A. Malcolm (abril de 1977). "Sobre el cálculo de funciones spline no lineales". Revista SIAM sobre análisis numérico . 14 (2): 254–282. doi :10.1137/0714017.
4. Fengmin Chen, Wong, PJY (diciembre de 2012). "Resolución de problemas de valores límite de segundo orden mediante splines cúbicos discretos". Control Automation Robotics & Vision (ICARCV), 12.ª conferencia internacional de 2012 : 1800-1805.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
5. Averbuch, AZ, Pevnyi, AB, Zheludev, VA (noviembre de 2001). "Ondeletas de Butterworth biortogonales derivadas de splines interpolatorios discretos". IEEE Transactions on Signal Processing . 49 (11): 2682–2692. CiteSeerX 10.1.1.332.7428 . doi :10.1109/78.960415. {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )