Interacción resonante

En sistemas no lineales, una interacción resonante es la interacción de tres o más ondas , generalmente, pero no siempre, de pequeña amplitud. Las interacciones resonantes ocurren cuando se cumple un conjunto simple de criterios que acoplan los vectores de onda y la ecuación de dispersión . La simplicidad de los criterios hace que la técnica sea popular en múltiples campos. Sus formas más prominentes y mejor desarrolladas aparecen en el estudio de las ondas de gravedad , pero también encuentran numerosas aplicaciones desde la astrofísica y la biología hasta la ingeniería y la medicina. El trabajo teórico sobre ecuaciones diferenciales parciales proporciona información sobre la teoría del caos ; existen vínculos curiosos con la teoría de números . Las interacciones resonantes permiten que las ondas se dispersen (elásticamente) , se difundan o se vuelvan inestables . ^[1] Los procesos de difusión son responsables de la termalización final de la mayoría de los sistemas no lineales; las inestabilidades ofrecen información sobre el caos y la turbulencia de alta dimensión .

Discusión

El concepto subyacente es que cuando la suma total de la energía y el momento de varios modos vibracionales suma cero, estos pueden mezclarse entre sí a través de no linealidades en el sistema en estudio. Los modos para los cuales la energía y el momento no suman cero no pueden interactuar, ya que esto implicaría una violación de la conservación de la energía/momento. Se entiende que el momento de una onda está dado por su vector de onda y su energía se desprende de la relación de dispersión para el sistema. $k$ $\omega$

Por ejemplo, para tres ondas en un medio continuo , la condición resonante se escribe convencionalmente como el requisito de que y también , el signo menos se toma dependiendo de cómo se redistribuye la energía entre las ondas. Para las ondas en medios discretos, como en simulaciones por computadora en una red , o en sistemas de estado sólido (no lineales) , los vectores de onda se cuantifican y los modos normales se pueden llamar fonones . La zona de Brillouin define un límite superior en el vector de onda, y las ondas pueden interactuar cuando suman múltiplos enteros de los vectores de Brillouin ( dispersión de Umklapp ). $k_{1}\pm k_{2}\pm k_{3}=0$ $\omega _{1}\pm \omega _{2}\pm \omega _{3}=0$

Aunque los sistemas de tres ondas proporcionan la forma más simple de interacciones resonantes en ondas, no todos los sistemas tienen interacciones de tres ondas. Por ejemplo, la ecuación de onda de aguas profundas, un sistema de medios continuos, no tiene una interacción de tres ondas. ^[2] El problema de Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou , un sistema de medios discretos, no tiene una interacción de tres ondas. Tiene una interacción de cuatro ondas, pero esto no es suficiente para termalizar el sistema; eso requiere una interacción de seis ondas. ^[3] Como resultado, el tiempo de termalización final va como la octava potencia inversa del acoplamiento, claramente, un tiempo muy largo para un acoplamiento débil, lo que permite que las famosas recurrencias FPUT dominen en escalas de tiempo "normales".

Formulación hamiltoniana

En muchos casos, el sistema en estudio puede expresarse fácilmente en un formalismo hamiltoniano . Cuando esto es posible, se puede aplicar un conjunto de manipulaciones que tienen la forma de una transformada de Fourier no lineal generalizada . Estas manipulaciones están estrechamente relacionadas con el método de dispersión inversa .

Un ejemplo particularmente simple se puede encontrar en el tratamiento de las ondas en aguas profundas. ^[4]^[2] En tal caso, el sistema se puede expresar en términos de un hamiltoniano, formulado en términos de coordenadas canónicas . Para evitar confusiones de notación, escriba para estos dos; se supone que son variables conjugadas que satisfacen la ecuación de Hamilton. Estas deben entenderse como funciones de las coordenadas del espacio de configuración , es decir, funciones del espacio y el tiempo. Tomando la transformada de Fourier , escriba $p,q$ $\psi ,\phi$ ${\vec {x}},t$

{\hat {\psi }}({\vec {k}})=\int e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\;\psi ({\vec {x}})\;dx

y lo mismo para . Aquí, es el vector de onda . Cuando está "en la capa", está relacionado con la frecuencia angular por la relación de dispersión . Los operadores de escalera siguen la forma canónica: ${\hat {\phi }}({\vec {k}})$ ${\vec {k}}$ $\omega$

{\hat {\phi }}({\vec {k}})={\sqrt {2f(\omega )}}\;\;\left(a_{k}+a_{-k}^{*}\right)

{\hat {\psi }}({\vec {k}})=-i{\sqrt {\frac {2}{f(\omega )}}}\;\;\left(a_{k}-a_{-k}^{*}\right)

con alguna función de la frecuencia angular. Corresponden a los modos normales del sistema linealizado. El hamiltoniano (la energía) ahora se puede escribir en términos de estos operadores de elevación y descenso (a veces llamados " variables de densidad de acción ") como $2f(\omega )$ $a,a^{*}$

H=H_{0}(a,a^{*})+\epsilon H_{1}(a,a^{*})

Aquí, el primer término es cuadrático en y representa la teoría linealizada, mientras que las no linealidades se capturan en , que es cúbico o de orden superior. $H_{0}(a,a^{*})$ $a,a^{*}$ $H_{1}(a,a^{*})$

Dado lo anterior como punto de partida, el sistema se descompone en modos "libres" y "ligados". ^[3]^[2] Los modos ligados no tienen dinámica independiente propia; por ejemplo, los armónicos superiores de una solución de solitón están ligados al modo fundamental y no pueden interactuar. Esto se puede reconocer por el hecho de que no siguen la relación de dispersión y no tienen interacciones resonantes. En este caso, se aplican transformaciones canónicas , con el objetivo de eliminar los términos que no interactúan, dejando modos libres. Es decir, se reescribe y lo mismo para , y se reescribe el sistema en términos de estos nuevos modos "libres" (o al menos, más libres). Si se hace correctamente, esto deja expresado solo con términos que interactúan resonantemente. Si es cúbico, estos son los términos de tres ondas ; si es cuártico, estos son los términos de cuatro ondas, y así sucesivamente. Las transformaciones canónicas se pueden repetir para obtener términos de orden superior, siempre que no se dañen las interacciones resonantes de orden inferior y se evite hábilmente el problema del divisor pequeño , ^[5] que ocurre cuando hay resonancias cercanas. Los términos en sí mismos dan la tasa o velocidad de la mezcla y a veces se denominan coeficientes de transferencia o matriz de transferencia . En la conclusión, se obtiene una ecuación para la evolución temporal de los modos normales, corregida por términos de dispersión. Al seleccionar uno de los modos del grupo, llamémoslo a continuación, la evolución temporal tiene la forma genérica $a\to a^{\prime }=a+{\mathcal {O}}(\epsilon )$ $a^{*}$ $H_{1}$ $H_{1}$ $a_{1}$

{\frac {\partial a_{1}}{\partial t}}+i\omega _{1}=-i\int dk_{2}\cdots dk_{n}\;T_{1\cdots n}\;a_{2}^{\pm }\cdots a_{n}^{\pm }\;\delta _{1\pm 2\pm \cdots \pm n}

con los coeficientes de transferencia para la interacción de ondas n y la captura de la noción de conservación de energía/momento implícita en la interacción resonante. Aquí se encuentra o según corresponda. Para las ondas en aguas profundas, lo anterior se denomina ecuación de Zakharov , llamada así en honor a Vladimir E. Zakharov . $T_{1\cdots n}$ $\delta _{1\pm 2\pm \cdots \pm n}=\delta (k_{1}\pm k_{2}\pm \cdots \pm k_{n})$ $a_{k}^{\pm }$ $a$ $a^{*}$

Historia

Las interacciones resonantes fueron consideradas y descritas por primera vez por Henri Poincaré en el siglo XIX, en el análisis de series de perturbaciones que describen el movimiento planetario de 3 cuerpos . Los términos de primer orden en la serie perturbativa pueden entenderse como forman una matriz ; los valores propios de la matriz corresponden a los modos fundamentales en la solución perturbada. Poincaré observó que en muchos casos, hay combinaciones lineales enteras de los valores propios que suman cero; esta es la interacción resonante original . Cuando está en resonancia, la transferencia de energía entre modos puede mantener el sistema en un estado estable de bloqueo de fase . Sin embargo, pasar al segundo orden es un desafío de varias maneras. Una es que las soluciones degeneradas son difíciles de diagonalizar (no hay una base vectorial única para el espacio degenerado). Un segundo problema es que aparecen diferencias en el denominador de los términos de segundo orden y de orden superior en la serie de perturbaciones; pequeñas diferencias conducen al famoso problema del divisor pequeño . Estas pueden interpretarse como correspondientes a un comportamiento caótico. En resumen, las resonancias precisas conducen a la dispersión y la mezcla; las resonancias aproximadas conducen a un comportamiento caótico.

Aplicaciones

Las interacciones resonantes han encontrado una amplia utilidad en muchas áreas. A continuación se presenta una lista seleccionada de algunas de ellas, indicando la amplia variedad de dominios en los que se han aplicado las ideas.

En aguas profundas, no hay interacciones de tres ondas entre las ondas de gravedad superficiales ; la forma de la relación de dispersión lo impide. Sin embargo, hay una interacción de cuatro ondas; describe muy bien la interacción observada experimentalmente de las ondas que se mueven oblicuamente ( es decir , sin parámetros libres ni ajustes). ^[6] El formalismo hamiltoniano para las ondas en aguas profundas fue propuesto por Zakharov en 1968 ^[4].
Las olas gigantes son ondas superficiales oceánicas inusualmente grandes e inesperadas; los solitones están implicados, y específicamente, las interacciones resonantes entre tres de ellos. ^[7]
Las ondas de Rossby , también conocidas como ondas planetarias, describen tanto las ondas en chorro como las ondas oceánicas que se desplazan a lo largo de la termoclina . Existen interacciones resonantes de tres ondas en las ondas de Rossby, por lo que se las suele estudiar como tales. ^[8]
Se ha observado que las interacciones resonantes de las ondas de Rossby tienen una conexión con las ecuaciones diofánticas , que normalmente se consideran un tema de la teoría de números. ^[9] Los métodos constructivos para resolver ecuaciones diofánticas que aparecen en el contexto de las interacciones de ondas resonantes de varios tipos (incluidas las ondas de Rossby) fueron presentados por primera vez por Kartashova en 1990 y se pueden encontrar en ^[10].

Durante el verano, en aguas costeras poco profundas, se ha observado que las ondas sonoras de baja frecuencia se propagan de forma anómala. Las anomalías dependen del tiempo, son anisotrópicas y pueden presentar una atenuación anormalmente grande . Se ha propuesto que la interacción resonante entre las ondas acústicas y las ondas internas de los solitones es la fuente de estas anomalías. ^[11]
En astrofísica , se han propuesto interacciones resonantes no lineales entre la deformación y las oscilaciones en el disco de acreción que gira relativistamente alrededor de un agujero negro como el origen de las oscilaciones cuasiperiódicas de kilohercios observadas en sistemas binarios de rayos X de baja masa . ^[12] La no linealidad que proporciona el acoplamiento se debe a la relatividad general; los discos de acreción en la gravedad newtoniana, por ejemplo los anillos de Saturno , no tienen este tipo particular de interacción resonante (sin embargo, demuestran muchos otros tipos de resonancias).
Durante la entrada de la nave espacial a la atmósfera , la alta velocidad de la misma calienta el aire hasta convertirlo en un plasma al rojo vivo. Este plasma es impenetrable para las ondas de radio, lo que provoca un apagón en las comunicaciones por radio. Se han investigado interacciones resonantes que acoplan mecánicamente (acústicamente) la nave espacial al plasma como un medio para perforar un agujero o hacer un túnel para las ondas de radio, restableciendo así las comunicaciones por radio durante una fase crítica del vuelo. ^[13]
Se han propuesto interacciones resonantes como una forma de acoplar la alta resolución espacial de los microscopios electrónicos a la alta resolución temporal de los láseres , lo que permite una microscopía de precisión tanto en el espacio como en el tiempo. ^[14] La interacción resonante es entre electrones libres y electrones ligados en la superficie de un material.
Las partículas cargadas pueden acelerarse mediante la interacción resonante con ondas electromagnéticas. ^[15] Las partículas escalares (átomos neutros) descritas por la ecuación de Klein-Gordon pueden acelerarse mediante ondas gravitacionales ( por ejemplo, las emitidas por las fusiones de agujeros negros). ^[16]
La base física de la bioactividad macromolecular ( reconocimiento molecular ), la interacción proteína -proteína y proteína- ADN , es poco conocida. Se sabe que tales interacciones son electromagnéticas (obviamente, su "química"), pero por lo demás son poco conocidas (no son "solo enlaces de hidrógeno "). El método del espectro informativo (ISM) describe dicha unión molecular en términos de interacciones resonantes. ^[17]^[18] Dada una proteína, los electrones de valencia de varios aminoácidos se deslocalizan y tienen cierta libertad de movimiento dentro de la proteína. Su comportamiento se puede modelar de una manera relativamente sencilla con un pseudopotencial electrón-ión (EIIP), uno para cada aminoácido o nucleótido distinto . El resultado del modelado proporciona espectros , a los que se puede acceder experimentalmente, lo que confirma los resultados numéricos. Además, el modelo proporciona la relación de dispersión necesaria a partir de la cual se pueden deducir las interacciones resonantes. Las interacciones resonantes se obtienen calculando espectros cruzados . Dado que las interacciones resonantes mezclan estados (y por lo tanto alteran la entropía ), el reconocimiento podría proceder a través de fuerzas entrópicas .
Se ha propuesto la interacción resonante entre campos electromagnéticos de alta frecuencia y células cancerosas como un método para tratar el cáncer. ^[19]

Véase también

Referencias

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