Integral de Selberg

Función matemática

En matemáticas , la integral de Selberg es una generalización de la función beta de Euler a n dimensiones introducida por Atle Selberg . ^{[1] [2]}

Fórmula integral de Selberg

Cuando tenemos ${\displaystyle Re(\alpha )>0,Re(\beta )>0,Re(\gamma )>-\min \left({\frac {1}{n}},{\frac {Re(\alpha )}{n-1}},{\frac {Re(\beta )}{n-1}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )&=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}\\&=\prod _{j=0}^{n-1}{\frac {\Gamma (\alpha +j\gamma )\Gamma (\beta +j\gamma )\Gamma (1+(j+1)\gamma )}{\Gamma (\alpha +\beta +(n+j-1)\gamma )\Gamma (1+\gamma )}}\end{aligned}}}$

La fórmula de Selberg implica la identidad de Dixon para series hipergeométricas bien equilibradas y algunos casos especiales de la conjetura de Dyson . Este es un corolario de Aomoto.

Fórmula integral de Aomoto

Aomoto demostró una fórmula integral ligeramente más general. ^[3] Con las mismas condiciones que la fórmula de Selberg,

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}}$

${\displaystyle =S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }}.}$

Una prueba se encuentra en el Capítulo 8 de Andrews, Askey & Roy (1999). ^[4]

Integral de Mehta

Cuando , ${\displaystyle Re(\gamma )>-1/n}$

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\prod _{i=1}^{n}e^{-t_{i}^{2}/2}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+j\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}.}$

Es un corolario de Selberg, al establecer , y cambiar las variables con , tomando luego . ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle t_{i}={\frac {1+t'_{i}/{\sqrt {2\alpha }}}{2}}}$ ${\displaystyle \alpha \to \infty }$

Esto fue conjeturado por Mehta y Dyson (1963), quienes desconocían el trabajo anterior de Selberg. ^[5]

Es la función de partición para un gas de cargas puntuales que se mueven sobre una línea y que son atraídas hacia el origen. ^[6]

Integral de Macdonald

Macdonald (1982) conjeturó la siguiente extensión de la integral de Mehta a todos los sistemas de raíces finitos , correspondiendo el caso original de Mehta al sistema de raíces A _{n −1} . ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \cdots \int \left|\prod _{r}{\frac {2(x,r)}{(r,r)}}\right|^{\gamma }e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})/2}dx_{1}\cdots dx_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+d_{j}\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}}$

El producto es sobre las raíces r del sistema de raíces y los números d _j son los grados de los generadores del anillo de invariantes del grupo de reflexión. Opdam (1989) dio una prueba uniforme para todos los grupos de reflexión cristalográficos. ^[8] Varios años después la demostró con total generalidad, haciendo uso de cálculos asistidos por ordenador de Garvan. ^[9]

Referencias

1. Selberg, Atle (1944). "Observaciones sobre una integral múltiple" . Estera norsk. Tidsskr . 26 : 71–78. SEÑOR  0018287.
2. Forrester, Peter J.; Warnaar, S. Ole (2008). "La importancia de la integral de Selberg". Bull. Amer. Math. Soc . 45 (4): 489–534. arXiv : 0710.3981 . doi :10.1090/S0273-0979-08-01221-4. S2CID  14185100.
3. Aomoto, K (1987). "Sobre la integral compleja de Selberg" . The Quarterly Journal of Mathematics . 38 (4): 385–399. doi :10.1093/qmath/38.4.385.
4. Andrews, George; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). "La integral de Selberg y sus aplicaciones". Funciones especiales . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 71. Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-62321-6.Señor 1688958  .
5. Mehta, Madan Lal; Dyson, Freeman J. (1963). "Teoría estadística de los niveles de energía de sistemas complejos. V" . Revista de Física Matemática . 4 (5): 713–719. Bibcode :1963JMP.....4..713M. doi :10.1063/1.1704009. MR  0151232.
6. Mehta, Madan Lal (2004). Matrices aleatorias . Matemáticas puras y aplicadas (Ámsterdam). Vol. 142 (3.ª ed.). Elsevier/Academic Press, Ámsterdam. ISBN 978-0-12-088409-4.Señor 2129906  .
7. Macdonald, IG (1982). "Algunas conjeturas para sistemas de raíces". Revista SIAM de Análisis Matemático . 13 (6): 988–1007. doi :10.1137/0513070. ISSN  0036-1410. MR  0674768.
8. Opdam, EM (1989). "Algunas aplicaciones de operadores de desplazamiento hipergeométrico". Invent. Math . 98 (1): 275–282. Bibcode :1989InMat..98....1O. doi :10.1007/BF01388841. MR  1010152. S2CID  54571505.
9. Opdam, EM (1993). "Operadores de Dunkl, funciones de Bessel y el discriminante de un grupo de Coxeter finito". Compositio Mathematica . 85 (3): 333–373. MR  1214452. Zbl  0778.33009.