Control de impedancia

El control de impedancia es un enfoque del control dinámico que relaciona la fuerza y ​​la posición. Se utiliza a menudo en aplicaciones en las que un manipulador interactúa con su entorno y la relación fuerza-posición es un factor de preocupación. Algunos ejemplos de estas aplicaciones son la interacción entre humanos y robots, en la que la fuerza producida por el humano se relaciona con la velocidad a la que el robot debe moverse o detenerse. Los métodos de control más simples, como el control de posición o el control de par, funcionan mal cuando el manipulador experimenta contactos. Por ello, el control de impedancia se utiliza habitualmente en estos entornos.

La impedancia mecánica es la relación entre la fuerza de salida y el movimiento de entrada. Esto es análogo a la impedancia eléctrica, que es la relación entre la tensión de salida y la corriente de entrada (por ejemplo, la resistencia es la tensión dividida por la corriente). Una "constante de resorte" define la fuerza de salida para un desplazamiento (extensión o compresión) del resorte. Una "constante de amortiguación" define la fuerza de salida para una entrada de velocidad. Si controlamos la impedancia de un mecanismo, estamos controlando la fuerza de resistencia a los movimientos externos que impone el entorno.

La admitancia mecánica es la inversa de la impedancia: define los movimientos que resultan de la aplicación de una fuerza. Si un mecanismo aplica una fuerza al entorno, este se moverá o no, dependiendo de sus propiedades y de la fuerza aplicada. Por ejemplo, una canica colocada sobre una mesa reaccionará de manera muy diferente a una fuerza dada que un tronco flotando en un lago.

La teoría clave que sustenta el método es tratar el entorno como una admitancia y al manipulador como una impedancia . Supone el postulado de que "ningún controlador puede hacer que el manipulador aparezca ante el entorno como algo distinto a un sistema físico". Esta regla general también se puede formular como: "en el caso más común en el que el entorno es una admitancia (por ejemplo, una masa, posiblemente cinemáticamente restringida), esa relación debería ser una impedancia, una función, posiblemente no lineal, dinámica o incluso discontinua, que especifique la fuerza producida en respuesta a un movimiento impuesto por el entorno". ^[1]

Principio

El control de impedancia no regula simplemente la fuerza o la posición de un mecanismo, sino que regula la relación entre fuerza y ​​posición por un lado, y velocidad y aceleración por el otro, es decir, la impedancia del mecanismo. Requiere una posición (velocidad o aceleración) como entrada y tiene una fuerza resultante como salida. La inversa de la impedancia es la admitancia. Impone la posición. De hecho, el controlador impone un comportamiento de resorte-masa-amortiguador en el mecanismo manteniendo una relación dinámica entre fuerza y ​​posición, velocidad y aceleración : , siendo fricción y siendo fuerza estática. ${\displaystyle ({\boldsymbol {F}})}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=M{\boldsymbol {a}}+C{\boldsymbol {v}}+K{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {f}}+{\boldsymbol {s}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

Las masas ( ) y los resortes (con rigidez ) son elementos que almacenan energía, mientras que un amortiguador (con amortiguamiento ) es un dispositivo que disipa energía. Si podemos controlar la impedancia, podemos controlar el intercambio de energía durante la interacción, es decir, el trabajo que se realiza. Por lo tanto, el control de la impedancia es control de la interacción. ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C}$

Tenga en cuenta que los sistemas mecánicos son inherentemente multidimensionales: un brazo robótico típico puede colocar un objeto en tres dimensiones ( coordenadas) y en tres orientaciones (por ejemplo, balanceo, cabeceo, guiñada). En teoría, un controlador de impedancia puede hacer que el mecanismo exhiba una impedancia mecánica multidimensional. Por ejemplo, el mecanismo puede actuar muy rígido a lo largo de un eje y muy flexible a lo largo de otro. Al compensar la cinemática y las inercias del mecanismo, podemos orientar esos ejes arbitrariamente y en varios sistemas de coordenadas. Por ejemplo, podemos hacer que un portapiezas robótico sea muy rígido tangencialmente a una muela de rectificar, mientras que sea muy flexible (controlando la fuerza con poca preocupación por la posición) en el eje radial de la rueda. ${\displaystyle (x,y,z)}$

Fundamentos matemáticos

Espacio articular

Un robot no controlado se puede expresar en la formulación lagrangiana como

donde denota la posición angular de la articulación, es la matriz de inercia simétrica y definida positiva, el par de Coriolis y centrífugo, el par gravitacional, incluye otros pares de torsión, por ejemplo, rigidez inherente, fricción, etc., y resume todas las fuerzas externas del entorno. El par de actuación en el lado izquierdo es la variable de entrada al robot. ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {c}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {h}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

Se puede proponer una ley de control de la siguiente forma:

donde denota la posición angular deseada de la articulación, y son los parámetros de control, y , , , y son el modelo interno de los términos mecánicos correspondientes. ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {M}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {c}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {g}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {h}}}}$

Insertando ( 2 ) en ( 1 ) se obtiene una ecuación del sistema de circuito cerrado (robot controlado):

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}({\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {D}}({\dot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {q}})({\ddot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\ddot {\boldsymbol {q}}})={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }.}$

Sea , se obtiene ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}={\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {e}}+{\boldsymbol {D}}{\dot {\boldsymbol {e}}}+{\boldsymbol {M}}{\ddot {\boldsymbol {e}}}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }}$

Dado que las matrices y tienen la dimensión de rigidez y amortiguamiento, se las suele denominar matriz de rigidez y amortiguamiento, respectivamente. Claramente, el robot controlado es esencialmente una impedancia mecánica multidimensional (masa-resorte-amortiguador) para el entorno, que se aborda mediante . ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }}$

Espacio de tareas

El mismo principio se aplica también al espacio de tareas. Un robot no controlado tiene la siguiente representación del espacio de tareas en la formulación lagrangiana:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {\Lambda }}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}+{\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\boldsymbol {\gamma }}({\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }}$,

donde denota la posición angular de la articulación, la posición del espacio de tareas, la matriz de inercia del espacio de tareas simétrica y definida positivamente. Los términos , , , y son la fuerza generalizada del término de Coriolis y centrífugo, la gravitación, otros términos no lineales y los contactos ambientales. Tenga en cuenta que esta representación solo se aplica a robots con cinemática redundante . La fuerza generalizada en el lado izquierdo corresponde al par de entrada del robot. ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$

De manera análoga, se puede proponer la siguiente ley de control:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }({\dot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }+{\hat {\boldsymbol {\mu }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {\gamma }}}({\boldsymbol {q}})+{\hat {\boldsymbol {\eta }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}}),}$

donde denota la posición deseada en el espacio de tareas, y son las matrices de rigidez y amortiguamiento del espacio de tareas, y , , , y son el modelo interno de los términos mecánicos correspondientes. ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\mu }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\gamma }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$

De manera similar, uno tiene

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\mathrm {x} }={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}}}$,

como el sistema de bucle cerrado, que es esencialmente una impedancia mecánica multidimensional para el entorno ( ). Por lo tanto, se puede elegir la impedancia deseada (principalmente la rigidez) en el espacio de tareas. Por ejemplo, se puede querer que el robot controlado actúe muy rígido en una dirección mientras que es relativamente flexible en otras estableciendo ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }}$

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1000\end{pmatrix}}\mathrm {N/m} ,}$

Suponiendo que el espacio de tareas es un espacio euclidiano tridimensional, la matriz de amortiguamiento suele elegirse de forma que el sistema de bucle cerrado ( 3 ) sea estable . ^[3] ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }}$

Aplicaciones

El control de impedancia se utiliza en aplicaciones como la robótica como una estrategia general para enviar comandos a un brazo robótico y a un efector final que tiene en cuenta la cinemática y la dinámica no lineal del objeto que se está manipulando. ^[4]

Referencias

1. Hogan, N. (6–8 de junio de 1984). "Control de impedancia: un enfoque de la manipulación" (PDF) . American Control Conference . págs. 304, 313. Archivado (PDF) del original el 21 de diciembre de 2021 . Consultado el 19 de septiembre de 2013 .{{cite web}}: CS1 maint: date and year (link)
2. Buchli, J. (12 de julio de 2011). "Fuerza, cumplimiento, impedancia y control de interacción, Escuela de verano de marcha y carrera dinámicas con robots" (PDF) . pp. 212–243. Archivado desde el original (PDF) el 16 de octubre de 2017.
3. Albu-Schäffer, A.; Ott, C.; Hirzinger, G. (2004), "Un controlador de impedancia cartesiana basado en pasividad para robots de articulaciones flexibles - parte II: retroalimentación de estado completo, diseño de impedancia y experimentos.", en Actas de la Conferencia Internacional IEEE de 2004 sobre Robótica y Automatización , págs. 2666–2672
4. Dietrich, A. (2016). Control de impedancia de cuerpo entero de robots humanoides con ruedas. Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-40556-8Archivado desde el original el 7 de septiembre de 2017 . Consultado el 1 de septiembre de 2017 .