Identidad cotangente de Hermite

En matemáticas , la identidad cotangente de Hermite es una identidad trigonométrica descubierta por Charles Hermite . ^[1] Supongamos que _{a 1, ..., an} son _números complejos  , de los cuales no hay dos que difieran en un múltiplo entero de  π . Dejar

${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$

(en particular, A _1,1 , al ser un producto vacío , es 1). Entonces

${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$

El ejemplo no trivial más simple es el caso  n  = 2:

${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).\,}$

notas y referencias

1. Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly , volumen 117, número 4, abril de 2010, páginas 311–327