Modelo casco-blanco

Modelo de tipos de interés futuros.

En matemáticas financieras , el modelo de Hull-White es un modelo de tipos de interés futuros . En su formulación más genérica, pertenece a la clase de modelos sin arbitraje que pueden adaptarse a la estructura temporal actual de las tasas de interés. Es relativamente sencillo traducir la descripción matemática de la evolución de los tipos de interés futuros a un árbol o una red , por lo que los derivados de tipos de interés , como los swaptions de Bermudas, pueden valorarse en el modelo.

El primer modelo Hull-White fue descrito por John C. Hull y Alan White en 1990. El modelo sigue siendo popular en el mercado actual.

el modelo

Modelo de un factor

El modelo es un modelo de tasa corta . En general tiene la siguiente dinámica:

${\displaystyle dr(t)=\left[\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right]\,dt+\sigma (t)\,dW(t).}$

Existe cierto grado de ambigüedad entre los profesionales sobre exactamente qué parámetros del modelo dependen del tiempo o qué nombre aplicar al modelo en cada caso. La convención de nomenclatura más comúnmente aceptada es la siguiente:

• ${\displaystyle \theta }$tiene dependencia t (tiempo): el modelo de Hull-White .
• ${\displaystyle \theta }$y ambos dependen del tiempo: el modelo extendido de Vasicek . ${\displaystyle \alpha }$

Modelo de dos factores

El modelo de dos factores de Hull-White (Hull 2006:657–658) contiene un término de perturbación adicional cuya media vuelve a cero y tiene la forma:

${\displaystyle d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t),}$

donde es una función determinista, típicamente la función de identidad (extensión de la versión de un factor, analíticamente manejable y con tasas de interés potencialmente negativas), el logaritmo natural (extensión de Black-Karasinksi, no analíticamente manejable y con tasas de interés positivas), o combinaciones (proporcionales al logaritmo natural en tasas pequeñas y proporcionales a la función de identidad en tasas grandes); y tiene un valor inicial de 0 y sigue el proceso: ${\displaystyle \displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle u}$

${\displaystyle du=-bu\,dt+\sigma _{2}\,dW_{2}(t)}$

Análisis del modelo unifactorial.

Para el resto de este artículo asumimos que solo tiene dependencia t . Despreciando el término estocástico por un momento, observe que el cambio en r es negativo si r es actualmente "grande" (mayor que y positivo si el valor actual es pequeño). Es decir, el proceso estocástico es un proceso de Ornstein-Uhlenbeck con reversión a la media. proceso . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \theta (t)/\alpha )}$

θ se calcula a partir de la curva de rendimiento inicial que describe la estructura temporal actual de las tasas de interés. Normalmente α se deja como entrada del usuario (por ejemplo, puede estimarse a partir de datos históricos). σ se determina mediante la calibración de un conjunto de caplets y swaptions fácilmente negociables en el mercado.

Cuando , y son constantes, el lema de Itô se puede utilizar para demostrar que ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

que tiene distribución

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),}$

donde está la distribución normal con media y varianza . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

¿Cuándo depende del tiempo? ${\displaystyle \theta (t)}$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

que tiene distribución

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).}$

Fijación de precios de bonos utilizando el modelo Hull-White

Resulta que el valor S temporal del bono con descuento con vencimiento T tiene distribución (¡tenga en cuenta la estructura de términos afines aquí!)

${\displaystyle P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),}$

dónde

${\displaystyle B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha (T-S))}{\alpha }},}$

${\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}}\right).}$

Tenga en cuenta que su distribución terminal se distribuye con normalidad logarítmica . ${\displaystyle P(S,T)}$

Precios derivados

Al seleccionar como numerario el bono temporal S (que corresponde al cambio a la medida S -forward), tenemos, según el teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje , el valor en el momento t de un derivado que tiene un pago en el momento S.

${\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

Aquí está la expectativa tomada con respecto a la medida adelantada . Además, los argumentos de arbitraje estándar muestran que el precio a término en el momento T para un pago en el momento T dado por V(T) debe satisfacer , por lo tanto ${\displaystyle \mathbb {E} _{S}}$ ${\displaystyle F_{V}(t,T)}$ ${\displaystyle F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)}$

${\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

Por lo tanto, es posible valorar analíticamente muchos derivados V que dependen únicamente de un enlace único cuando se trabaja en el modelo de Hull-White. Por ejemplo, en el caso de una emisión de bonos ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle V(S)=(K-P(S,T))^{+}.}$

Debido a que tiene una distribución lognormal, el cálculo general utilizado para el modelo de Black-Scholes muestra que ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {E}_{S}[(K-P(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),}$

dónde

${\displaystyle d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma _{P}^{2}S/2}{\sigma _{P}{\sqrt {S}}}}}$

y

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.}$

Por lo tanto, el valor de hoy (con P (0, S ) multiplicado nuevamente y t establecido en 0) es:

${\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).}$

Aquí está la desviación estándar (volatilidad relativa) de la distribución log-normal para . Una cantidad bastante sustancial de álgebra muestra que está relacionada con los parámetros originales a través de ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (T-S))){\sqrt {\frac {1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.}$

Tenga en cuenta que esta expectativa se cumplió en la medida del bono S , mientras que no especificamos ninguna medida para el proceso original de Hull-White. Esto no importa: la volatilidad es lo único que importa y es independiente de las medidas.

Dado que los límites máximos y mínimos de las tasas de interés son equivalentes a las opciones de compra y venta de bonos, respectivamente, el análisis anterior muestra que los límites máximos y mínimos pueden valorarse analíticamente en el modelo de Hull-White. El truco de Jamshidian se aplica a Hull-White (ya que el valor actual de una swaption en el modelo Hull-White es una función monótona del tipo corto actual). Por lo tanto, saber cómo fijar los precios también es suficiente para fijar los precios de los swaps. En el caso de que el subyacente sea una tasa compuesta retrospectiva en lugar de una tasa LIBOR a plazo (prospectiva), Turfus (2020) muestra cómo esta fórmula puede modificarse directamente para tener en cuenta la convexidad adicional .

Los swaps también pueden valorarse directamente como se describe en Henrard (2003). Las implementaciones directas suelen ser más eficientes.

Simulación Monte-Carlo, árboles y celosías.

Sin embargo, valorar instrumentos básicos como caps y swaptions es útil principalmente para la calibración. El uso real del modelo es valorar derivados algo más exóticos, como los swaps de Bermudas en una red , u otros derivados en un contexto multidivisa como los Quanto Constant Maturity Swaps, como se explica, por ejemplo, en Brigo y Mercurio (2001). La simulación Monte-Carlo eficiente y exacta del modelo Hull-White con parámetros dependientes del tiempo se puede realizar fácilmente; consulte Ostrovski (2013) y (2016). Se puede encontrar una implementación de código abierto de la simulación exacta de Monte-Carlo siguiendo a Fries (2016) ^{[1] en finmath lib. [2]}

Previsión

Aunque se han ideado modelos de factor único como Vasicek, CIR y Hull-White para la fijación de precios, investigaciones recientes han demostrado su potencial con respecto a la previsión. En Orlando et al. (2018, ^[3] 2019, ^{[4] [5]} ) recibió una nueva metodología para pronosticar tasas de interés futuras llamada CIR#. La idea, además de convertir un modelo de tipo corto utilizado para la fijación de precios en una herramienta de previsión, reside en una división adecuada del conjunto de datos en subgrupos según una distribución determinada ^[6] ). Allí se mostró cómo dicha partición permite capturar cambios temporales estadísticamente significativos en la volatilidad de las tasas de interés. Siguiendo dicho enfoque, Orlando et al. (2021) ^[7] ) compara el modelo de Hull-White con el modelo CIR en términos de pronóstico y predicción de la direccionalidad de las tasas de interés.

Ver también

• modelo vasicek
• Modelo de Cox-Ingersoll-Ross
• Modelo Karasinski negro

Referencias

1. Papas fritas, Christian (2016). "Una breve nota sobre el esquema de simulación estocástica exacta del modelo Hull-White y su implementación". SSRN . doi : 10.2139/ssrn.2737091 . Consultado el 15 de octubre de 2023 .
2. "HullWhiteModel.java". biblioteca finmath . finmath.net . Consultado el 15 de octubre de 2023 .
3. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Búfalo, Michele (2018). "Un nuevo enfoque para el modelado de tasas CIR a corto plazo". Nuevos métodos en modelado de renta fija . Contribuciones a la ciencia de la gestión. Publicaciones internacionales Springer: 35–43. doi :10.1007/978-3-319-95285-7_2. ISBN 978-3-319-95284-0.
4. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (1 de enero de 2019). "Un nuevo enfoque para pronosticar los tipos de interés del mercado mediante el modelo CIR". Estudios de Economía y Finanzas . 37 (2): 267–292. doi :10.1108/SEF-03-2019-0116. ISSN  1086-7376. S2CID  204424299.
5. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (19 de agosto de 2019). "Calibración de tipos de interés con un modelo CIR". La Revista de Finanzas de Riesgo . 20 (4): 370–387. doi :10.1108/JRF-05-2019-0080. ISSN  1526-5943. S2CID  204435499.
6. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (julio de 2020). "Previsión de tipos de interés a través de modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición". Revista de previsión . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/para.2642. ISSN  0277-6693. S2CID  126507446.
7. Orlando, Giuseppe; Búfalo, Michele (26 de mayo de 2021). "Previsión de tipos de interés: entre Hull y White y el CIR#: cómo hacer que funcione un modelo de factor único". Revista de previsión . 40 (8): 1566-1580. doi : 10.1002/para.2783 . ISSN  0277-6693.

Referencias primarias

• John Hull y Alan White, "Uso de árboles de tasas de interés de Hull-White", Journal of Derivatives , vol. 3, núm. 3 (primavera de 1996), págs. 26–36
• John Hull y Alan White, "Procedimientos numéricos para implementar modelos de estructura de términos I", Journal of Derivatives , otoño de 1994, págs. 7-16.
• John Hull y Alan White, "Procedimientos numéricos para implementar modelos de estructura de términos II", Journal of Derivatives , invierno de 1994, págs. 37–48.
• John Hull y Alan White, "El precio de las opciones sobre límites máximos y mínimos de las tasas de interés utilizando el modelo Hull-White" en Estrategias avanzadas en la gestión de riesgos financieros , Capítulo 4, págs.
• John Hull y Alan White, "Modelos de tipos de interés de un factor y valoración de valores derivados de tipos de interés", Journal of Financial and Quantitative Analysis , volumen 28, n.º 2, (junio de 1993) págs.
• John Hull y Alan White, "Fijación de precios de valores derivados de tasas de interés", The Review of Financial Studies , Vol 3, No. 4 (1990) págs.

Otras referencias

• Casco, John C. (2006). "Derivados de tipos de interés: modelos de tipo corto". Opciones, futuros y otros derivados (6ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall . págs. 657–658. ISBN 0-13-149908-4. LCCN  2005047692. OCLC  60321487.
• Damián Brigo , Fabio Mercurio (2001). Modelos de tipos de interés: teoría y práctica con sonrisa, inflación y crédito (2ª ed., edición de 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Henrard, Marc (2003). "Fórmula de canje y opción de bonos explícita en el modelo de un factor de Heath-Jarrow-Morton", Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas , 6(1), 57–72. Preimpresión SSRN.
• Henrard, Marc (2009). Precio de swaptions eficiente en el modelo de un factor de Hull-White, arXiv, 0901.1776v1. Preimpresión arXiv.
• Ostrovski, Vladimir (2013). Simulación eficiente y exacta del modelo Hull-White, preimpresión SSRN.
• Ostrovski, Vladimir (2016). Simulación eficiente y exacta de los modelos de tipos de interés afines gaussianos. Revista internacional de ingeniería financiera, vol. 3, No. 02. ,Preimpresión SSRN.
• Puschkarski, Eugen. Implementación del modelo de estructura de plazos sin arbitraje de Hull-White, tesis de diploma, Centro de Mercados Financieros de Europa Central
• Turfus, Colin (2020). Precios de caplets con tarifas retrospectivas., SSRN preimpreso.
• Letian Wang, Modelo Hull-White, Grupo Quant de Renta Fija, DTCC (ejemplo numérico detallado y derivación)