En matemáticas, un plano de Hughes es uno de los planos proyectivos no desarguesianos encontrados por Hughes (1957). Existen ejemplos de orden p 2 n para cada primo impar p y cada entero positivo n .
Construcción
La construcción de un plano de Hughes se basa en un campo cercano N de orden p 2n para p un primo impar cuyo núcleo K tiene orden p n y coincide con el centro de N .
Propiedades
Un avión Hughes H : [1]
- es un plano proyectivo no desarguesiano de orden de potencia prima cuadrada impar de tipo Lenz-Barlotti I.1,
- tiene un subplano Baer desarguesiano H 0 ,
- es un plano autodual en el que cada polaridad ortogonal de H 0 puede extenderse a una polaridad de H ,
- cada colineación central de H 0 se extiende a una colineación central de H , y
- El grupo de colineación completo de H tiene dos órbitas puntuales (una de las cuales es H 0 ), dos órbitas lineales y cuatro órbitas de bandera.
El avión Hughes más pequeño (orden 9)
El plano de Hughes de orden 9 fue encontrado anteriormente por Veblen y Wedderburn en 1907. [2] Una construcción de este plano se puede encontrar en Room y Kirkpatrick (1971) donde se lo llama plano Ψ.
Notas
- ^ Dembowski 1968, pág. 247
- ^ Veblen, O.; Wedderburn, JHM (1907), "Geometrías no desarguesianas y no pascalianas" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 8 (3): 379–388, doi : 10.1090/s0002-9947-1907-1500792-1
Referencias
- Dembowski, P. (1968), Geometrías finitas , Berlín: Springer-Verlag
- Hughes, DR (1957), "Una clase de planos proyectivos no desarguesianos", Canadian Journal of Mathematics , 9 : 378–388, doi :10.4153/CJM-1957-045-0, ISSN 0008-414X, MR 0087960
- Room, TG; Kirkpatrick, PB (1971). Geometría de minicuaterniones; una introducción al estudio de planos proyectivos . Cambridge [Inglaterra]: University Press. ISBN 0-521-07926-8.OCLC 111943 .
- Weibel, Charles (2007), "Estudio de planos no desarguesianos", Avisos de la AMS , 54 (10): 1294–1303
