Momento estandarizado

Momentos centrales normalizados

En teoría de probabilidad y estadística , un momento estandarizado de una distribución de probabilidad es un momento (a menudo un momento central de grado superior ) que se normaliza, normalmente por una potencia de la desviación estándar , lo que hace que la escala del momento sea invariable . La forma de diferentes distribuciones de probabilidad se puede comparar utilizando momentos estandarizados. ^[1]

Normalización estándar

Sea X una variable aleatoria con una distribución de probabilidad P y valor medio (es decir, el primer momento bruto o momento alrededor de cero ), el operador E denota el valor esperado de X. Entonces el momento estandarizado de grado k es ^[2] es decir, la relación del k -ésimo momento alrededor de la media ${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$ ${\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}},}$

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{k}P(x)\,dx,}$

a la k- ésima potencia de la desviación estándar ,

${\displaystyle \sigma ^{k}=\mu _{2}^{k/2}=\left({\sqrt {\mathrm {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}\right)^{k}.}$

La potencia de k se debe a que los momentos escalan, lo que significa que son funciones homogéneas de grado k , por lo que el momento estandarizado es invariante de escala . Esto también se puede entender como que los momentos tienen dimensión; en la relación anterior que define los momentos estandarizados, las dimensiones se cancelan, por lo que son números adimensionales . ${\displaystyle x^{k},}$ ${\displaystyle \mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X):}$

Los primeros cuatro momentos estandarizados se pueden escribir como:

Para la asimetría y la curtosis, existen definiciones alternativas, que se basan en el tercer y cuarto cumulante respectivamente.

Otras normalizaciones

Otra medida adimensional e invariante de escala para las características de una distribución es el coeficiente de variación , . Sin embargo, no se trata de un momento estandarizado, en primer lugar porque es un recíproco y, en segundo lugar, porque es el primer momento con respecto a cero (la media), no el primer momento con respecto a la media (que es cero). ${\displaystyle {\frac {\sigma }{\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$

Consulte Normalización (estadísticas) para obtener más índices de normalización.

Véase también

• Coeficiente de variación
• Momento (matemáticas)
• Momento central
• Puntuación estándar § Otras normalizaciones

Referencias

1. Ramsey, James Bernard; Newton, H. Joseph; Harvill, Jane L. (1 de enero de 2002). "CAPÍTULO 4 MOMENTOS Y FORMA DE LOS HISTOGRAMAS". Los elementos de estadística: con aplicaciones a la economía y las ciencias sociales. Duxbury/Thomson Learning. pág. 96. ISBN 9780534371111.
2. W., Weisstein, Eric. "Momento estandarizado". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de marzo de 2016 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)