En teoría de probabilidad y estadística , un momento estandarizado de una distribución de probabilidad es un momento (a menudo un momento central de grado superior ) que se normaliza, normalmente por una potencia de la desviación estándar , lo que hace que la escala del momento sea invariable . La forma de diferentes distribuciones de probabilidad se puede comparar utilizando momentos estandarizados. [1]
Sea X una variable aleatoria con una distribución de probabilidad P y valor medio (es decir, el primer momento bruto o momento alrededor de cero ), el operador E denota el valor esperado de X. Entonces el momento estandarizado de grado k es [2] es decir, la relación del k -ésimo momento alrededor de la media
a la k- ésima potencia de la desviación estándar ,
La potencia de k se debe a que los momentos escalan, lo que significa que son funciones homogéneas de grado k , por lo que el momento estandarizado es invariante de escala . Esto también se puede entender como que los momentos tienen dimensión; en la relación anterior que define los momentos estandarizados, las dimensiones se cancelan, por lo que son números adimensionales .
Los primeros cuatro momentos estandarizados se pueden escribir como:
Para la asimetría y la curtosis, existen definiciones alternativas, que se basan en el tercer y cuarto cumulante respectivamente.
Otra medida adimensional e invariante de escala para las características de una distribución es el coeficiente de variación , . Sin embargo, no se trata de un momento estandarizado, en primer lugar porque es un recíproco y, en segundo lugar, porque es el primer momento con respecto a cero (la media), no el primer momento con respecto a la media (que es cero).
Consulte Normalización (estadísticas) para obtener más índices de normalización.
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