Los modelos de redes jerárquicas son algoritmos iterativos para crear redes capaces de reproducir las propiedades únicas de la topología sin escala y la alta agrupación de nodos al mismo tiempo. Estas características se observan ampliamente en la naturaleza, desde la biología hasta el lenguaje y algunas redes sociales .
El modelo de red jerárquica es parte de la familia de modelos libres de escala que comparten su propiedad principal de tener proporcionalmente más centros entre los nodos que por generación aleatoria; sin embargo, difiere significativamente de los otros modelos similares ( Barabási–Albert , Watts–Strogatz ) en la distribución de los coeficientes de agrupamiento de los nodos: como otros modelos predecirían un coeficiente de agrupamiento constante en función del grado del nodo, en los modelos jerárquicos se espera que los nodos con más enlaces tengan un coeficiente de agrupamiento menor. Además, mientras que el modelo de Barabási-Albert predice un coeficiente de agrupamiento promedio decreciente a medida que aumenta el número de nodos, en el caso de los modelos jerárquicos no hay relación entre el tamaño de la red y su coeficiente de agrupamiento promedio.
El desarrollo de modelos de redes jerárquicas estuvo motivado principalmente por el fracaso de los otros modelos libres de escala en la incorporación de la topología libre de escala y la alta agrupación en un solo modelo. Dado que varias redes de la vida real ( redes metabólicas , la red de interacción de proteínas , la World Wide Web o algunas redes sociales ) exhiben tales propiedades, se introdujeron diferentes topologías jerárquicas para dar cuenta de estas diversas características.
Los modelos de redes jerárquicas se derivan generalmente de forma iterativa replicando el clúster inicial de la red de acuerdo con una regla determinada. Por ejemplo, considere una red inicial de cinco nodos completamente interconectados (N=5). Como siguiente paso, cree cuatro réplicas de este clúster y conecte los nodos periféricos de cada réplica al nodo central del clúster original (N=25). Este paso se puede repetir indefinidamente, por lo que para cualquier k pasos, el número de nodos en el sistema se puede derivar mediante N=5 k+1 . [1]
Por supuesto, en la literatura se han propuesto varias formas diferentes de crear sistemas jerárquicos. Estos sistemas generalmente difieren en la estructura del grupo inicial, así como en el grado de expansión, que a menudo se denomina factor de replicación del modelo. [2] [3]
Al ser parte de la familia de modelos libres de escala, la distribución de grados del modelo de red jerárquica sigue la ley de potencia, lo que significa que un nodo seleccionado aleatoriamente en la red tiene k aristas con una probabilidad
donde c es una constante y γ es el exponente de grado. En la mayoría de las redes del mundo real que exhiben propiedades libres de escala, γ se encuentra en el intervalo [2,3]. [4]
Como resultado específico para los modelos jerárquicos se ha demostrado que el exponente de grado de la función de distribución se puede calcular como
donde M representa el factor de replicación del modelo. [5]
A diferencia de otros modelos libres de escala ( Erdős–Rényi , Barabási–Albert, Watts–Strogatz) donde el coeficiente de agrupamiento es independiente del grado de un nodo específico, en redes jerárquicas el coeficiente de agrupamiento se puede expresar como una función del grado de la siguiente manera:
Se ha demostrado analíticamente que en redes deterministas libres de escala el exponente β toma el valor de 1. [2]
Según la base de datos de actores disponible en www.IMDb.com, la red está definida por los actores de Hollywood que están conectados entre sí si ambos aparecieron en la misma película, lo que da como resultado un conjunto de datos de 392.340 nodos y 15.347.957 aristas. Como han demostrado estudios anteriores, esta red exhibe propiedades libres de escala al menos para valores altos de k . Además, los coeficientes de agrupamiento parecen seguir la ley de escala requerida con el parámetro -1 proporcionando evidencia de la topología jerárquica de la red. Intuitivamente, los actores de una sola actuación tienen por definición un coeficiente de agrupamiento de uno, mientras que los actores que protagonizan varias películas tienen muy pocas probabilidades de trabajar con el mismo equipo, lo que en general da como resultado un coeficiente de agrupamiento decreciente a medida que aumenta el número de coprotagonistas. [1]
Las palabras pueden considerarse como una red si se especifican los criterios de enlace entre ellas. Al definir los enlaces como la aparición como sinónimo en el diccionario Merriam-Webster , se construyó una red semántica de 182.853 nodos con 317.658 aristas. Resultó que la red de palabras obtenida sigue efectivamente una ley de potencia en su distribución de grados, mientras que la distribución del coeficiente de agrupamiento indica que la red subyacente sigue una estructura jerárquica con γ = 3,25 y β = 1. [1]
Al mapear el dominio www.nd.edu se obtuvo una red de 325.729 nodos y 1.497.135 aristas cuya distribución de grados siguió una ley de potencia con γ out = 2,45 y γ in = 2,1 para los grados de entrada y salida, respectivamente. La evidencia de la distribución de la ley de escala de los coeficientes de agrupamiento es significativamente más débil que en los casos anteriores, aunque hay un patrón decreciente claramente visible en la distribución de C(k) que indica que cuantos más enlaces tiene un dominio, menos interconectadas están las páginas web enlazadas o que enlazan. [1] [6]
Se encontró que la red de dominio , es decir, Internet a nivel de sistema autónomo (AS) donde se dice que están conectados los dominios administrativos en caso de que haya un enrutador que los conecte, comprende 65.520 nodos y 24.412 enlaces entre ellos y exhibe las propiedades de una red libre de escala. La distribución de la muestra de los coeficientes de agrupamiento se ajustó mediante la función de escala C(k)~k −0,75 cuyo exponente es (en términos absolutos) algo menor que el parámetro teórico para redes libres de escala deterministas. [1] [7]
