Número heptagonal

Un número heptagonal es un número figurado que se construye combinando heptágonos de tamaño ascendente. El n -ésimo número heptagonal viene dado por la fórmula

${\displaystyle H_{n}={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}$.

Los primeros cinco números heptagonales.

Los primeros números heptagonales son:

, 1 , 7 , 18 , 34 , 55 , 81 , 112 , 148 , 189 , 235 , 286, 342, 403, 469, 540, 616 , 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, … (secuencia A000566 en la OEIS )

Paridad

La paridad de los números heptagonales sigue el patrón impar-impar-par-par. Al igual que los números cuadrados , la raíz digital en base 10 de un número heptagonal solo puede ser 1, 4, 7 o 9. Cinco veces un número heptagonal, más 1, es igual a un número triangular .

Propiedades adicionales

• Los números heptagonales tienen varias fórmulas notables:

${\displaystyle H_{m+n}=H_{m}+H_{n}+5mn}$

${\displaystyle H_{m-n}=H_{m}+H_{n}-5mn+3n}$

${\displaystyle H_{m}-H_{n}={\frac {(5(m+n)-3)(m-n)}{2}}}$

${\displaystyle 40H_{n}+9=(10n-3)^{2}}$

Suma de recíprocos

Una fórmula para la suma de los recíprocos de los números heptagonales viene dada por: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}&={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{5\,\phi ^{6}}}}+{\frac {5}{2}}\ln(5)-{\sqrt {5}}\ln(\phi )\right)\\&=1.3227792531223888567\dots \end{aligned}}}$

con proporción áurea . ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Raíces heptagonales

En analogía con la raíz cuadrada de x, se puede calcular la raíz heptagonal de x , es decir, el número de términos en la secuencia hasta x inclusive .

La raíz heptagonal de x viene dada por la fórmula

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {40x+9}}+3}{10}},}$

que se obtiene utilizando la fórmula cuadrática para resolver su raíz positiva única n . ${\displaystyle x={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}$

Referencias

1. "Más allá del problema de Basilea: sumas de recíprocos de números figurados" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de mayo de 2013 . Consultado el 19 de mayo de 2010 .