El helecho de Barnsley es un fractal que debe su nombre al matemático británico Michael Barnsley , quien lo describió por primera vez en su libro Fractals Everywhere . [1] Lo hizo para que se pareciera al helecho negro, Asplenium adiantum-nigrum .
El helecho es uno de los ejemplos básicos de conjuntos autosimilares , es decir, es un patrón generado matemáticamente que puede reproducirse con cualquier aumento o reducción. Al igual que el triángulo de Sierpinski , el helecho de Barnsley muestra cómo se pueden construir estructuras gráficamente hermosas a partir de usos repetitivos de fórmulas matemáticas con computadoras. El libro de Barnsley de 1988 Fractals Everywhere se basa en el curso que impartió para estudiantes de pregrado y posgrado en la Escuela de Matemáticas del Instituto de Tecnología de Georgia , llamado Geometría fractal . Después de publicar el libro, se desarrolló un segundo curso, llamado Teoría de la medida fractal . [1] El trabajo de Barnsley ha sido una fuente de inspiración para los artistas gráficos que intentan imitar la naturaleza con modelos matemáticos.
El código de helecho desarrollado por Barnsley es un ejemplo de un sistema de funciones iteradas (SFI) para crear un fractal. Esto se desprende del teorema del collage . Ha utilizado fractales para modelar una amplia gama de fenómenos en ciencia y tecnología, pero más específicamente las estructuras de las plantas.
Los fractales de variables múltiples proporcionan modelos para ciertas plantas, hojas y helechos, en virtud de la autosimilitud que a menudo ocurre en las estructuras ramificadas de la naturaleza. Pero la naturaleza también exhibe aleatoriedad y variación de un nivel al siguiente; no hay dos helechos exactamente iguales, y las frondas ramificadas se convierten en hojas a una escala menor. Los fractales de variables múltiples permiten tal aleatoriedad y variabilidad a través de escalas, mientras que al mismo tiempo admiten una dependencia continua de los parámetros que facilita el modelado geométrico. Estos factores nos permiten hacer los modelos biológicos híbridos... ...especulamos que cuando se encuentra un modelo fractal geométrico de variables múltiples que tiene una buena coincidencia con la geometría de una planta dada, entonces hay una relación específica entre estos árboles de código y la información almacenada en los genes de la planta.
—Michael Barnsley y otros [2]
El helecho de Barnsley utiliza cuatro transformaciones afines . La fórmula para una transformación es la siguiente:
Barnsley muestra el código IFS para su fractal de helecho Black Spleenwort como una matriz de valores que se muestran en una tabla. [3] En la tabla, las columnas " a " a " f " son los coeficientes de la ecuación y " p " representa el factor de probabilidad.
Estas corresponden a las siguientes transformaciones:
Aunque, en teoría, el helecho de Barnsley se podría dibujar a mano con un bolígrafo y papel cuadriculado, el número de iteraciones necesarias asciende a decenas de miles, lo que hace que el uso de un ordenador sea prácticamente obligatorio. Muchos modelos informáticos diferentes del helecho de Barnsley son populares entre los matemáticos contemporáneos. Siempre que las matemáticas se programen correctamente utilizando la matriz de constantes de Barnsley, se producirá la misma forma de helecho.
El primer punto dibujado está en el origen ( x 0 = 0, y 0 = 0 ) y luego los nuevos puntos se calculan iterativamente aplicando aleatoriamente una de las siguientes cuatro transformaciones de coordenadas: [4] [5]
Esta transformación de coordenadas se elige el 1% del tiempo y simplemente asigna cualquier punto a un punto en el primer segmento de línea en la base del tallo. En la generación iterativa, actúa como un restablecimiento a la base del tallo. Fundamentalmente, no se restablece exactamente a (0,0), lo que le permite completar el tallo base que se traslada y sirve como una especie de "núcleo" a partir del cual se generan todas las demás secciones del helecho a través de las transformaciones f 2 , f 3 , f 4 .
Esta transformación codifica la relación de autosimilitud de todo el helecho con la subestructura que consiste en el helecho con la eliminación de la sección que incluye las dos hojas inferiores. En la representación matricial, se puede ver que es una ligera rotación en el sentido de las agujas del reloj, escalada para ser ligeramente más pequeña y trasladada en la dirección y positiva . En la generación iterativa, esta transformación se aplica con una probabilidad del 85% y es intuitivamente responsable de la generación del tallo principal y de la generación vertical sucesiva de las hojas a cada lado del tallo a partir de sus hojas "originales" en la base.
Esta transformación codifica la autosimilitud de todo el helecho con la hoja inferior izquierda. En la representación matricial, se observa que es una rotación en sentido antihorario de casi 90°, reducida a un tamaño de aproximadamente el 30 % con una traslación en la dirección y positiva . En la generación iterativa, se aplica con una probabilidad del 7 % y es intuitivamente responsable de la generación de la hoja inferior izquierda.
De manera similar, esta transformación codifica la autosimilitud de todo el helecho con la hoja inferior derecha. A partir de su determinante, se ve fácilmente que incluye una reflexión y puede considerarse una transformación similar a f 3, aunque con una reflexión sobre el eje y . En la generación iterativa, se aplica con una probabilidad del 7 % y es responsable de la generación de la hoja inferior derecha.
Jugando con los coeficientes, es posible crear variedades mutantes de helechos. En su artículo sobre fractales de V variables, Barnsley llama a esta característica un superfractal . [2]
Un experimentador ha elaborado una tabla de coeficientes para producir otro helecho de aspecto sorprendentemente natural, parecido al helecho Cyclosorus o Thelypteridaceae . Estos son: [6] [7]
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.00&0.00\\0.00&0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\\[6px]f_{2}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.85&0.04\\-0.04&0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{3}(x,y)&={\beg en{bmatrix}0,20&-0,26\\0,23&0,22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0,00\\1,60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{4}(x,y)&={\begin{bmatrix}-0,15&0,28\\0,26&0,24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0,00\\0,44\end{bmatrix}}\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18893d23fb20a00b6f12b2c6f09afe14f5071194)
dibuja todos los píxeles en la pantalla en blanco x = 0.0 y = 0.0 t = 0.0 xn = 0.0 yn = 0.0 mientras t < máximo iteraciones : r = aleatorio () entre 0 y 1 si r < 0.01 : xn = 0.0 yn = 0.16 * y de lo contrario si r < 0.86 : xn = 0.85 * x + 0.04 * y yn = - 0.04 * x + 0.85 * y + 1.6 de lo contrario si r < 0.93 : xn = 0.2 * x - 0.26 * y yn = 0.23 * x + 0.22 * y + 1.6 de lo contrario : xn = - 0.15 * x + 0.28 * y yn = 0.26 * x + 0.24 * y + 0.44 dibujar píxel verde en la pantalla en ( xn , yn ) x = xn y = yn incremento t