Unidades Heaviside-Lorentz

Las unidades Heaviside-Lorentz (o unidades Lorentz-Heaviside ) constituyen un sistema de unidades y magnitudes que extiende el CGS con un conjunto particular de ecuaciones que definen magnitudes electromagnéticas, llamadas así por Oliver Heaviside y Hendrik Antoon Lorentz . Comparten con el sistema CGS-gaussiano que la constante eléctrica ε ₀ y la constante magnética µ ₀ no aparecen en las ecuaciones que definen el electromagnetismo, habiéndose incorporado implícitamente en las magnitudes electromagnéticas. Las unidades Heaviside-Lorentz pueden considerarse como una normalización de ε ₀ = 1 y µ ₀ = 1 , mientras que al mismo tiempo revisan las ecuaciones de Maxwell para utilizar la velocidad de la luz c en su lugar. ^[1]

El sistema de unidades Heaviside-Lorentz, al igual que el Sistema Internacional de Cantidades en el que se basa el sistema SI , pero a diferencia del sistema CGS-Gaussiano , está racionalizado , con el resultado de que no hay factores de 4 π que aparezcan explícitamente en las ecuaciones de Maxwell . ^[2] Que este sistema esté racionalizado explica en parte su atractivo en la teoría cuántica de campos : el lagrangiano subyacente a la teoría no tiene ningún factor de 4 π cuando se utiliza este sistema. ^[3] En consecuencia, las cantidades electromagnéticas en el sistema Heaviside-Lorentz difieren en factores de √ 4 π en las definiciones de los campos eléctrico y magnético y de la carga eléctrica . A menudo se utiliza en cálculos relativistas , ^{[nota 1]} y se utilizan en física de partículas . Son particularmente convenientes cuando se realizan cálculos en dimensiones espaciales mayores que tres, como en la teoría de cuerdas .

Motivación

A mediados del siglo XIX, las mediciones electromagnéticas se realizaban con frecuencia en los denominados sistemas de unidades electrostáticos (ESU) o electromagnéticos (EMU). Estos se basaban respectivamente en la ley de Coulomb y la ley de Ampere. El uso de estos sistemas, al igual que las unidades CGS gaussianas desarrolladas posteriormente, dio lugar a que aparecieran muchos factores de 4 π en fórmulas para resultados electromagnéticos, incluidos aquellos sin simetría circular o esférica.

Por ejemplo, en el sistema CGS-Gaussiano, la capacitancia de una esfera de radio r es r mientras que la de un capacitor de placas paralelas es ⁠A/4πd​⁠ , dondeAes el área de la placa más pequeña ydes su separación.

Heaviside , quien fue un importante, aunque algo aislado, ^{[ cita requerida ]} teórico temprano del electromagnetismo, sugirió en 1882 que la apariencia irracional de 4 π en este tipo de relaciones podría eliminarse redefiniendo las unidades para cargas y campos. ^{[4] [5]} En su libro de 1893 Teoría electromagnética , ^[6] Heaviside escribió en la introducción:

No hace mucho que se dio por sentado que las unidades eléctricas comunes eran correctas. Algunos consideraban que esa curiosa y molesta constante 4 π era una especie de bendición sin la cual toda teoría eléctrica se desmoronaría. Creo que esta opinión está casi extinta hoy en día y que se reconoce ampliamente que el 4 π fue un error desafortunado y dañino, la fuente de muchos males.

En términos sencillos, el sistema común de unidades eléctricas implica una irracionalidad del mismo tipo que la que se introduciría en el sistema métrico de pesos y medidas si definiéramos la unidad de área como el área, no de un cuadrado con un lado, sino de un círculo con un diámetro. La constante π se introduciría entonces en el área de un rectángulo, y en todos los lugares donde no debería estar, y sería una fuente de gran confusión e inconvenientes. Lo mismo ocurre con las unidades eléctricas comunes, que son verdaderamente irracionales.

Ahora bien, cometer un error es algo fácil y natural para el hombre, pero eso no basta. El siguiente paso es corregirlo: cuando se ha cometido un error, no es necesario repetirlo eternamente con inconvenientes acumulativos. — Oliver Heaviside (1893) ^[6]

Marco de referencia longitud-masa-tiempo

Al igual que en el sistema gaussiano ( G ), el sistema Heaviside-Lorentz ( HL ) utiliza las dimensiones longitud-masa-tiempo . Esto significa que todas las unidades de magnitudes eléctricas y magnéticas se pueden expresar en términos de las unidades de las magnitudes básicas longitud, tiempo y masa.

La ecuación de Coulomb, utilizada para definir la carga en estos sistemas, es F = q^G
₁q^G2
_​/ r ² en el sistema gaussiano, y F = q^Nivel
₁q^Nivel
₂/ (4 πr ² ) en el sistema HL. La unidad de carga se conecta entonces a 1 dyn⋅cm ² = 1 statC ² = 4 π HLC ² , donde 'HLC' es la unidad de carga HL. La cantidad HL q ^HL que describe una carga es entonces √ 4 π veces mayor que la cantidad gaussiana correspondiente. Existen relaciones comparables para las otras cantidades electromagnéticas (ver a continuación).

El conjunto de unidades que se utiliza habitualmente se denomina SI , que define dos constantes, la permitividad del vacío ( ε ₀ ) y la permeabilidad del vacío ( μ ₀ ). Estas se pueden utilizar para convertir las unidades del SI a sus valores Heaviside-Lorentz correspondientes, como se detalla a continuación. Por ejemplo, la carga del SI es √ ε ₀ L ³ M / T ² . Cuando se pone ε ₀ = 8,854 pF/m , L = 1 cm , M = 1 g y T = 1 s , esto se evalúa como9.409 669 × 10 ⁻¹¹  C , el equivalente SI de la unidad de carga de Heaviside-Lorentz.

Comparación de Heaviside-Lorentz con otros sistemas de unidades

Esta sección contiene una lista de las fórmulas básicas del electromagnetismo, dadas en los sistemas SI, Heaviside-Lorentz y Gaussiano. Aquí E y D son el campo eléctrico y el campo de desplazamiento , respectivamente, B y H son los campos magnéticos , P es la densidad de polarización , M es la magnetización , ρ es la densidad de carga , J es la densidad de corriente , c es la velocidad de la luz en el vacío, ϕ es el potencial eléctrico , A es el potencial vectorial magnético , F es la fuerza de Lorentz que actúa sobre un cuerpo de carga q y velocidad v , ε es la permitividad , χ _e es la susceptibilidad eléctrica , μ es la permeabilidad magnética y χ _m es la susceptibilidad magnética .

Ecuaciones de Maxwell

Los campos eléctrico y magnético se pueden escribir en términos de los potenciales A y ϕ . La definición del campo magnético en términos de A , B = ∇ × A , es la misma en todos los sistemas de unidades, pero el campo eléctrico no lo es en el sistema SI, sino en los sistemas HL o Gaussiano. ${\textstyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ ${\textstyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

Otras leyes básicas

Materiales dieléctricos y magnéticos

A continuación se presentan las expresiones para los campos macroscópicos , y en un medio material. Para simplificar , se supone aquí que el medio es homogéneo, lineal, isótropo y no dispersivo, de modo que las susceptibilidades son constantes. ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

Obsérvese que las magnitudes , y son adimensionales y tienen el mismo valor numérico. Por el contrario, la susceptibilidad eléctrica es adimensional en todos los sistemas, pero tiene diferentes valores numéricos para el mismo material: Las mismas afirmaciones se aplican a las magnitudes magnéticas correspondientes. ${\displaystyle \varepsilon ^{\textsf {SI}}/\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\textsf {HL}}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\textsf {G}}}$ ${\displaystyle \chi _{\text{e}}}$ $${\displaystyle \chi _{\text{e}}^{\textsf {SI}}=\chi _{\text{e}}^{\textsf {HL}}=4\pi \chi _{\text{e}}^{\textsf {G}}}$$

Ventajas y desventajas de las unidades Heaviside-Lorentz

Ventajas

• Las fórmulas anteriores son claramente más simples en unidades HL en comparación con las unidades SI o Gaussianas. Como propuso Heaviside, eliminar los 4 π de la ley de Gauss y colocarlos en la ley de Force reduce considerablemente la cantidad de lugares donde aparece el π en comparación con las unidades CGS gaussianas.
• Si eliminamos el 4 π explícito de la ley de Gauss, queda claro que la ley de fuerza del inverso del cuadrado surge cuando el campo E se extiende por la superficie de una esfera. Esto permite una extensión sencilla a otras dimensiones. Por ejemplo, el caso de cables largos y paralelos que se extienden rectos en la dirección z puede considerarse un sistema bidimensional. Otro ejemplo es la teoría de cuerdas, donde a menudo es necesario considerar más de tres dimensiones espaciales.
• Las ecuaciones están libres de las constantes ε ₀ y μ ₀ que están presentes en el sistema SI. (Además, ε ₀ y μ ₀ están sobredeterminadas, porque ε ₀ μ ₀ = 1 / c ²    .)

Los puntos siguientes son verdaderos tanto en los sistemas Heaviside-Lorentz como en los gaussianos, pero no en el SI.

• Los campos eléctrico y magnético E y B tienen las mismas dimensiones en el sistema Heaviside-Lorentz, lo que significa que es fácil recordar dónde van los factores de c en la ecuación de Maxwell. Cada derivada temporal viene con un 1  / c  , lo que la hace dimensionalmente igual a una derivada espacial. En cambio, en unidades del SI [ E ] / [ B ] es [ c ] .
• Al dar a los campos E y B la misma dimensión, el ensamblaje en el tensor electromagnético resulta más transparente. No hay factores de c que deban insertarse al ensamblar el tensor a partir de los campos tridimensionales. De manera similar, ϕ y A tienen las mismas dimensiones y son los cuatro componentes del potencial 4.
• Los campos D , H , P y M también tienen las mismas dimensiones que E y B . Para el vacío, cualquier expresión que incluya D puede simplemente reformularse como la misma expresión con E . En unidades del SI, D y P tienen las mismas unidades, al igual que H y M , pero tienen unidades diferentes entre sí y de E y B .

Desventajas

• A pesar de las insistencias de Heaviside, resultó difícil persuadir a la gente para que cambiara las unidades establecidas. Creía que si se cambiaban las unidades, "los instrumentos de estilo antiguo muy pronto serían una minoría y luego desaparecerían...". ^[6] Convencer a la gente para que cambiara era difícil ya en 1893, y desde entonces se han impreso más de un siglo de libros de texto adicionales y se han construido voltímetros.
• Las unidades Heaviside-Lorentz, al igual que las unidades CGS gaussianas por las que generalmente difieren en un factor de aproximadamente 3,5, suelen tener tamaños bastante incómodos. El amperio (culombio/segundo) es una unidad razonable para medir corrientes que se encuentran comúnmente, pero el ESU/s, como se demostró anteriormente, es demasiado pequeño. La unidad CGS gaussiana de potencial eléctrico se llama estatvoltio.300 V , un valor que es mayor que los potenciales más comunes. El henrio, la unidad del SI para la inductancia , ya es bastante grande en comparación con la mayoría de los inductores; la unidad gaussiana es 12 órdenes de magnitud mayor.
• Algunas de las unidades CGS gaussianas tienen nombres; ninguna de las unidades Heaviside-Lorentz los tiene.

Los libros de texto de física teórica utilizan casi exclusivamente unidades Heaviside-Lorentz, frecuentemente en su forma natural (ver abajo), la simplicidad conceptual y compacidad del sistema HL clarifican significativamente las discusiones, y es posible, si es necesario, convertir las respuestas resultantes a unidades apropiadas después del hecho insertando factores apropiados de c y ε ₀ . Algunos libros de texto sobre electricidad clásica y magnetismo se han escrito utilizando unidades CGS gaussianas, pero recientemente algunos de ellos se han reescrito para usar unidades SI. ^{[nota 2]} Fuera de estos contextos, incluyendo por ejemplo artículos de revistas sobre circuitos eléctricos, rara vez se encuentran unidades Heaviside-Lorentz y CGS gaussianas.

Traducción de expresiones y fórmulas entre sistemas

Para convertir cualquier expresión o fórmula entre los sistemas SI, Heaviside-Lorentz o Gaussiano, las cantidades correspondientes que se muestran en la tabla siguiente se pueden igualar directamente y, por lo tanto, sustituir. Esto reproducirá cualquiera de las fórmulas específicas que se indican en la lista anterior.

A modo de ejemplo, partiendo de la ecuación y las ecuaciones de la tabla $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ^{\textsf {SI}}=\rho ^{\textsf {SI}}/\varepsilon _{0},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}\ \mathbf {E} ^{\textsf {SI}}&=\mathbf {E} ^{\textsf {HL}}\\{\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}}\rho ^{\textsf {SI}}&=\rho ^{\textsf {HL}}\,.\end{aligned}}}$$

Moviendo el factor en las últimas identidades y sustituyendo, el resultado es que luego se simplifica a $${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}}\mathbf {E} ^{\textsf {HL}}\right)=\left({\sqrt {\varepsilon _{0}}}\rho ^{\textsf {HL}}\right)/\varepsilon _{0},}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ^{\textsf {HL}}=\rho ^{\textsf {HL}}.}$$

Notas

1. Tal como lo utiliza Einstein, por ejemplo en su libro: Einstein, Albert (2005). El significado de la relatividad (1956, 5.ª ed.). Princeton University Press (2005). pp. 21 y siguientes.
2. Por ejemplo, la primera y segunda ediciones de la Electrodinámica clásica de JD Jackson ^[7] utilizaban exclusivamente unidades gaussianas, pero en la tercera edición Jackson reescribió muchos de los capítulos en unidades del SI. Del mismo modo, Electricidad y magnetismo de EM Purcell , ^[8] un libro de texto de uso común para estudios introductorios, se escribió originalmente en unidades gaussianas; la tercera edición se reescribió en unidades del SI.

Referencias

1. Silsbee, Francis (abril-junio de 1962). "Sistemas de unidades eléctricas". Revista de investigación de la Oficina Nacional de Normas , sección C. 66C (2): 137-183. doi : 10.6028/jres.066C.014 .
2. Kowalski, Ludwik, 1986, "Una breve historia de las unidades SI en electricidad", archivado el 29 de abril de 2009 en Wayback Machine , The Physics Teacher 24(2): 97–99. Enlace web alternativo (se requiere suscripción)
3. Littlejohn, Robert (otoño de 2011). "Sistemas de unidades gaussianos, SI y otros en la teoría electromagnética" (PDF) . Física 221A, notas de clase de la Universidad de California, Berkeley . Consultado el 6 de mayo de 2008 .
4. Heaviside, O. (18 de noviembre de 1882). "Las relaciones entre la fuerza magnética y la corriente eléctrica". The Electrician . Londres, Reino Unido.
5. "Sistema de unidades de medida". Historia de la ingeniería y la tecnología (ETHW.org) (wiki). 24 de abril de 2012. Consultado el 23 de diciembre de 2021 .
6. Heaviside, Oliver (1893). Teoría electromagnética. Vol. 1. Londres, Reino Unido: The D. van Nostrand Company. pág.  xi – vía Google Books.

   Fuente alternativa para el mismo texto:

   "Heaviside 1893: Teoría electromagnética volumen 1...". wiki. Ecología de código abierto Alemania (wiki.opensourceecology.de) ( texto OCR ).
7. Jackson, JD (1973). Electrodinámica clásica, segunda edición . John Wiley & Sons, Nueva York. págs. 811–821.
8. Purcell, EM (1965). Electricidad y magnetismo, curso de física de Berkeley . Vol. 2 (primera edición). McGraw Hill, Nueva York. págs. 449–452.