Función semiexponencial

Raíz cuadrada funcional de una exponencial

En matemáticas , una función semiexponencial es una raíz cuadrada funcional de una función exponencial . Es decir, una función tal que compuesta consigo misma da como resultado una función exponencial: ^{[1] [2]} para algunas constantes y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Imposibilidad de una fórmula de forma cerrada

Si una función se define utilizando operaciones aritméticas estándar, exponenciales, logaritmos y constantes de valores reales , entonces es subexponencial o superexponencial. ^[3] Por lo tanto, una función L de Hardy no puede ser semiexponencial. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}}$

Construcción

Cualquier función exponencial puede escribirse como la autocomposición para infinitas opciones posibles de . En particular, para cada en el intervalo abierto y para cada función continua estrictamente creciente de sobre , existe una extensión de esta función a una función continua estrictamente creciente sobre los números reales tal que . ^[4] La función es la solución única de la ecuación funcional ${\displaystyle f(f(x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,A]}$ ${\displaystyle [A,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}}$$

Ejemplo de una función semiexponencial

Un ejemplo simple, que lleva a tener una primera derivada continua en todas partes, y también causa en todas partes (es decir, es cóncava hacia arriba y creciente, para todos los reales ), es tomar y , dando la afirmación de Crone y Neuendorffer de que no hay una función semiexponencial f(x) que sea a la vez (a) analítica y (b) siempre mapee números reales a números reales. La solución por partes anterior logra el objetivo (b) pero no el (a). Lograr el objetivo (a) es posible escribiendo como una serie de Taylor basada en un punto fijo Q (hay una infinidad de tales puntos fijos, pero todos son complejos no reales, por ejemplo ), haciendo que Q también sea un punto fijo de f, es decir , luego calculando los coeficientes de la serie de Maclaurin de uno por uno. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''\geq 0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}{-\log _{e}2}\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle Q=0.3181315+1.3372357i}$ ${\displaystyle f(Q)=e^{Q}=Q}$ ${\displaystyle f(x-Q)}$

Solicitud

Las funciones semiexponenciales se utilizan en la teoría de la complejidad computacional para tasas de crecimiento "intermedias" entre polinómicas y exponenciales. ^[2] Una función crece al menos tan rápido como alguna función semiexponencial (su composición consigo misma crece exponencialmente) si no es decreciente y , para cada . ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(x^{C})=o(\log x)}$ ${\displaystyle C>0}$

Véase también

• Función iterada  : resultado de aplicar repetidamente una función matemática
• Ecuación de Schröder  – Ecuación para el punto fijo de la composición funcional
• Ecuación de Abel  : ecuación para una función que calcula valores iterados

Referencias

1. Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x) = ex und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 187 : 56–67. doi :10.1515/crll.1950.187.56. SEÑOR  0035385.
2. Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, NV; Watanabe, Osamu (1999). "Tamaño de circuito superpolinomial versus semiexponencial en la jerarquía exponencial". En Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, DT; Nakano, Shin-ichi; Tokuyama, Takeshi (eds.). Computing and Combinatorics, 5.ª Conferencia Internacional Anual, COCOON '99, Tokio, Japón, 26-28 de julio de 1999, Actas . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 1627. Springer. págs. 210-220. doi :10.1007/3-540-48686-0_21. ISBN . 978-3-540-66200-6.Señor 1730337  .
3. van der Hoeven, J. (2006). Transseries y Álgebra Diferencial Real . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1888. Springer-Verlag, Berlín. doi :10.1007/3-540-35590-1. ISBN 978-3-540-35590-8.Sr. 2262194  .Véase el ejercicio 4.10, pág. 91, según el cual cada una de estas funciones tiene una tasa de crecimiento comparable a la de una función exponencial o logarítmica iterada un número entero de veces, en lugar del medio entero que se requeriría para una función semiexponencial.
4. Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. (1988). "Potencias funcionales cerca de un punto fijo". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 132 (2): 520–529. doi :10.1016/0022-247X(88)90080-7. MR  0943525.
5. Razborov, Alexander A. ; Rudich, Steven (1997). "Pruebas naturales". Revista de Ciencias de la Computación y de Sistemas . 55 (1): 24–35. doi : 10.1006/jcss.1997.1494 . MR  1473047.

Enlaces externos

• ¿La función exponencial tiene una raíz cuadrada (compositiva)?
• Funciones de “forma cerrada” con crecimiento semiexponencial