En matemáticas , se dice que un grupo algebraico afín es diagonalizable si es isomorfo a un subgrupo de Dn , el grupo de matrices diagonales . Se dice que un grupo diagonalizable definido sobre un campo k se divide sobre k o k - se divide si el isomorfismo se define sobre k . Esto coincide con la noción habitual de división de un grupo algebraico. Cada grupo diagonalizable se divide sobre el cierre separable k s de k . Cualquier subgrupo cerrado e imagen de grupos diagonalizables es diagonalizable. El subgrupo de torsión de un grupo diagonalizable es denso.
La categoría de grupos diagonalizables definidos sobre k es equivalente a la categoría de grupos abelianos generados finitamente con morfismos equivalentes a Gal( k s / k ) sin p -torsión, si k es de característica p . Esto es un análogo de la dualidad de Poincaré y motivó la terminología.
Un grupo k diagonalizable se dice que es anisotrópico si no tiene un carácter no trivial con valor k .
La llamada "rigidez" establece que el componente de identidad del centralizador de un grupo diagonalizable coincide con el componente de identidad del normalizador del grupo. El hecho juega un papel crucial en la teoría de la estructura de grupos solubles .
Un grupo diagonalizable conexo se denomina toro algebraico (que no es necesariamente compacto, a diferencia de un toro complejo ). Un k -toro es un toro definido sobre k . El centralizador de un toro máximo se llama subgrupo de Cartan .