En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo HS de Higman-Sims es un grupo simple esporádico de orden.
El multiplicador de Schur tiene orden 2, el grupo de automorfismo externo tiene orden 2 y el grupo 2.HS.2 aparece como un centralizador de involución en el grupo Harada-Norton .
HS es uno de los 26 grupos esporádicos y fue encontrado por Donald G. Higman y Charles C. Sims (1968). Asistían a una presentación de Marshall Hall sobre el grupo J 2 de Hall-Janko . Sucede que J 2 actúa como un grupo de permutación en el gráfico Hall-Janko de 100 puntos, siendo el estabilizador de un punto un subgrupo con otras dos órbitas de longitudes 36 y 63. Inspirados por esto, decidieron comprobar si había otras permutaciones de rango 3. grupos en 100 puntos. Pronto se centraron en uno posible que contuviera el grupo M 22 de Mathieu , que tiene representaciones de permutación en 22 y 77 puntos. (La última representación surge porque el sistema Steiner M 22 tiene 77 bloques). Al juntar estas dos representaciones, encontraron HS, con un estabilizador de un punto isomorfo a M 22 .
HS es el subgrupo simple del índice dos en el grupo de automorfismos del gráfico de Higman-Sims . El gráfico de Higman-Sims tiene 100 nodos, por lo que el grupo HS de Higman-Sims es un grupo transitivo de permutaciones de un conjunto de 100 elementos. La representación compleja fiel más pequeña de HS tiene dimensión 22. [1]
Graham Higman (1969) descubrió de forma independiente el grupo como un grupo de permutación doblemente transitivo que actúa sobre una determinada "geometría" en 176 puntos.
El código GAP para construir el grupo Higman-Sims se presenta como ejemplo en la propia documentación de GAP. [2]
El grupo Higman-Sims se puede construir con los dos generadores siguientes : [2]
(1,50,65) (2,89,62,52,88,25) (3,46,57,18,74,55) (4,45,10,70,56,39) (5,97 ,77) (6,84,8,48,99,67) (7,26,92,28,20,100) (9,30,79,66,49,95) (11,72) (12,94, 98,27,83,93) (13,31,61,59,40,47) (14,51,68,44,16,34) (15,38) (17,82,87) (19,76 ,73,71,63,32) (21,37,58,69,75,35) (22,53,81) (23,33,54) (24,43,80,78,29,86) ( 42,64) (60,90,96) (85,91)
y
(1,65,44,13,34,57) (2,10,39,54,42,84) (3,15,69,63,37,11) (5,21,79) (6,89 ,49,64,46,80) (7,70,93,29,8,38) (9,81,17,23,77,59) (12,68,66,75,96,82) (14 ,18,95,43,76,32) (16,33,99,26,92,48) (19,50) (20,97,83) (22,88,85,53,24,56) ( 25,62,67) (27,98) (28,55) (30,58,71,86,94,90) (31,87,52,78,100,60) (35,61,51) (36, 73,72) (40,74) (41,45,47)
Conway (1968) identificó al grupo Higman-Sims como un subgrupo del grupo Conway Co 0 . En Co 0 HS surge como estabilizador puntual de un triángulo 2-3-3 , aquel cuyas aristas (diferencias de vértices) son vectores tipo 2 y 3. Por tanto, HS es un subgrupo de cada uno de los grupos de Conway Co 0 , Co 2 y Co 3 .
Wilson (2009) (p. 208) muestra que el grupo HS está bien definido. En la red Leech , supongamos que un punto v de tipo 3 está fijado por una instancia de Co 3 . Cuente los puntos w del tipo 2 de modo que el producto interno v · w = 2 (y por lo tanto v - w sea del tipo 3). Demuestra que su número es 11,178 = 2⋅3 5 ⋅23 y que este Co 3 es transitivo en estos w .
| SA | = | Co 3 | / 11.178 = 44.352.000.
De hecho, | SA | = 100 | M 22 | , y hay casos de HS que incluyen una representación matricial de permutación del grupo M de Mathieu 22 .
Si una instancia de HS en Co 0 fija un punto particular de tipo 3, este punto se encuentra en 276 triángulos de tipo 2-2-3 que esta copia de HS permuta en órbitas de 176 y 100. Este hecho lleva a la construcción de Graham Higman así como al gráfico de Higman-Sims. HS es doblemente transitivo en el 176 y rango 3 en el 100.
Un triángulo 2-3-3 define un subespacio bidimensional fijado puntualmente por HS. Por tanto, la representación estándar de HS se puede reducir a una de 22 dimensiones.
Wilson (2009) (p. 210) da un ejemplo de un gráfico de Higman-Sims dentro de la red Leech , permutado por la representación de M 22 en las últimas 22 coordenadas:
Las diferencias de puntos adyacentes son del tipo 3; los de los no adyacentes son del tipo 2.
Aquí, HS fija un triángulo 2-3-3 con vértices x = (5, 1 23 ) , y = (1, 5, 1 22 ) yz el origen. x e y son de tipo 3, mientras que x - y = (4, −4, 0 22 ) es de tipo 2. Cualquier vértice de la gráfica se diferencia de x , y y z por vectores de tipo 2.
Una involución en el subgrupo M 22 transpone 8 pares de coordenadas. Como matriz de permutación en Co 0 tiene la traza 8. Se puede demostrar que mueve 80 de los 100 vértices del gráfico de Higman-Sims. Ningún par de vértices transpuestos es una arista en el gráfico.
Hay otra clase de involuciones, de traza 0, que mueven los 100 vértices. [3] Como permutaciones en el grupo alterno A 100 , al ser productos de un número impar (25) de transposiciones dobles, estas involuciones se elevan a elementos de orden 4 en la doble cubierta 2.A 100 . HS tiene así una doble cobertura 2.HS, que no está relacionada con la doble cobertura del subgrupo M 22 .
Magliveras (1971) encontró las 12 clases de conjugación de subgrupos máximos de HS de la siguiente manera:
Se muestran rastros de matrices en una representación estándar de 24 dimensiones de HS. [4] Se enumeran 2 representaciones de permutación: en los 100 vértices del gráfico de Higman-Sims y en los 176 puntos de la geometría de Graham Higman. [5]
Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que el monstruoso alcohol ilegal no se limita al grupo de los monstruos , sino que se pueden encontrar fenómenos similares en otros grupos. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para HS, la serie McKay-Thompson es donde se puede establecer a(0) = 4 ( OEIS : A058097 ),
