Producto Gromov

En matemáticas , el producto de Gromov es un concepto de la teoría de espacios métricos que lleva el nombre del matemático Mijaíl Gromov . El producto de Gromov también se puede utilizar para definir espacios métricos δ -hiperbólicos en el sentido de Gromov.

Definición

Sea ( X ,  d ) un espacio métrico y sean x , y , z  ∈  X . Entonces el producto de Gromov de y y z en x , denotado ( y ,  z ) _x , se define por

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.}$

Motivación

Dados tres puntos x , y , z en el espacio métrico X , por la desigualdad triangular existen números no negativos a , b , c tales que . Entonces los productos de Gromov son . En el caso de que los puntos x , y , z sean los nodos externos de un trípode entonces estos productos de Gromov son las longitudes de las aristas. ${\displaystyle d(x,y)=a+b,\ d(x,z)=a+c,\ d(y,z)=b+c}$ ${\displaystyle (y,z)_{x}=a,\ (x,z)_{y}=b,\ (x,y)_{z}=c}$

En el plano hiperbólico, esférico o euclidiano, el producto de Gromov ( A ,  B ) _C es igual a la distancia p entre C y el punto donde el incírculo del triángulo geodésico ABC toca la arista CB o CA . En efecto, del diagrama c = ( a – p ) + ( b – p ) , de modo que p = ( a + b – c )/2 = ( A , B ) _C . Por lo tanto, para cualquier espacio métrico, se obtiene una interpretación geométrica de ( A ,  B ) _C incrustando isométricamente (A, B, C) en el plano euclidiano. ^[1]

Propiedades

• El producto de Gromov es simétrico: ( y ,  z ) _x  = ( z ,  y ) _x .
• El producto de Gromov degenera en los puntos finales: ( y ,  z ) _y  = ( y ,  z ) _z  = 0.
• Para cualesquiera puntos p , q , x , y y z ,

${\displaystyle d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x},}$

${\displaystyle 0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}},}$

${\displaystyle {\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q),}$

${\displaystyle {\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z).}$

Puntos en el infinito

Consideremos el espacio hiperbólico H ⁿ . Fijemos un punto base p y sean y dos puntos distintos en el infinito. Entonces el límite ${\displaystyle x_{\infty }}$ ${\displaystyle y_{\infty }}$

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{\infty } \atop y\to y_{\infty }}(x,y)_{p}}$

existe y es finito, y por lo tanto puede considerarse como un producto de Gromov generalizado. En realidad, está dado por la fórmula

${\displaystyle (x_{\infty },y_{\infty })_{p}=\log \csc(\theta /2),}$

¿Dónde está el ángulo entre los rayos geodésicos y ? ^[2] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle px_{\infty }}$ ${\displaystyle py_{\infty }}$

Espacios δ-hiperbólicos y divergencia de geodésicas

El producto de Gromov se puede utilizar para definir espacios δ -hiperbólicos en el sentido de Gromov: ( X ,  d ) se dice que es δ -hiperbólico si, para todos p , x , y y z en X ,

${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .}$

En este caso, el producto de Gromov mide el tiempo que las geodésicas permanecen juntas. Es decir, si x , y y z son tres puntos de un espacio métrico δ -hiperbólico, entonces los segmentos iniciales de longitud ( y ,  z ) _x de las geodésicas de x a y y de x a z no están separados más de 2 δ (en el sentido de la distancia de Hausdorff entre conjuntos cerrados).

Notas

1. Väisälä, Jussi (15 de septiembre de 2005). "Espacios hiperbólicos de Gromov". Exposiciones Mathematicae . 23 (3): 187–231. doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010. ISSN  0723-0869.
2. Roe, John (2003). Lecciones sobre geometría básica . Providence: American Mathematical Society. pág. 114. ISBN. 0-8218-3332-4.

Referencias

• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
• Kapovich, Ilya; Benakli, Nadia (2002). "Límites de grupos hiperbólicos". Teoría combinatoria y geométrica de grupos (Nueva York, 2000/Hoboken, NJ, 2001) . Contemp. Math. 296. Providence, RI: Amer. Math. Soc. págs. 39–93. MR  1921706.
• Väisälä, Jussi (2005). "Espacios hiperbólicos de Gromov". Exposiciones Mathematicae . 23 (3): 187–231. doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010.