En matemáticas , el producto de Gromov es un concepto de la teoría de espacios métricos que lleva el nombre del matemático Mijaíl Gromov . El producto de Gromov también se puede utilizar para definir espacios métricos δ -hiperbólicos en el sentido de Gromov.
Definición
Sea ( X , d ) un espacio métrico y sean x , y , z ∈ X . Entonces el producto de Gromov de y y z en x , denotado ( y , z ) x , se define por
Motivación
Dados tres puntos x , y , z en el espacio métrico X , por la desigualdad triangular existen números no negativos a , b , c tales que . Entonces los productos de Gromov son . En el caso de que los puntos x , y , z sean los nodos externos de un trípode entonces estos productos de Gromov son las longitudes de las aristas.
En el plano hiperbólico, esférico o euclidiano, el producto de Gromov ( A , B ) C es igual a la distancia p entre C y el punto donde el incírculo del triángulo geodésico ABC toca la arista CB o CA . En efecto, del diagrama c = ( a – p ) + ( b – p ) , de modo que p = ( a + b – c )/2 = ( A , B ) C . Por lo tanto, para cualquier espacio métrico, se obtiene una interpretación geométrica de ( A , B ) C incrustando isométricamente (A, B, C) en el plano euclidiano. [1]
Propiedades
El producto de Gromov es simétrico: ( y , z ) x = ( z , y ) x .
El producto de Gromov degenera en los puntos finales: ( y , z ) y = ( y , z ) z = 0.
Para cualesquiera puntos p , q , x , y y z ,
Puntos en el infinito
Consideremos el espacio hiperbólico H n . Fijemos un punto base p y sean y dos puntos distintos en el infinito. Entonces el límite
existe y es finito, y por lo tanto puede considerarse como un producto de Gromov generalizado. En realidad, está dado por la fórmula
¿Dónde está el ángulo entre los rayos geodésicos y ? [2]
Espacios δ-hiperbólicos y divergencia de geodésicas
El producto de Gromov se puede utilizar para definir espacios δ -hiperbólicos en el sentido de Gromov: ( X , d ) se dice que es δ -hiperbólico si, para todos p , x , y y z en X ,
En este caso, el producto de Gromov mide el tiempo que las geodésicas permanecen juntas. Es decir, si x , y y z son tres puntos de un espacio métrico δ -hiperbólico, entonces los segmentos iniciales de longitud ( y , z ) x de las geodésicas de x a y y de x a z no están separados más de 2 δ (en el sentido de la distancia de Hausdorff entre conjuntos cerrados).
Notas
^ Väisälä, Jussi (15 de septiembre de 2005). "Espacios hiperbólicos de Gromov". Exposiciones Mathematicae . 23 (3): 187–231. doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010. ISSN 0723-0869.
^ Roe, John (2003). Lecciones sobre geometría básica . Providence: American Mathematical Society. pág. 114. ISBN.0-8218-3332-4.
Referencias
Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
Kapovich, Ilya; Benakli, Nadia (2002). "Límites de grupos hiperbólicos". Teoría combinatoria y geométrica de grupos (Nueva York, 2000/Hoboken, NJ, 2001) . Contemp. Math. 296. Providence, RI: Amer. Math. Soc. págs. 39–93. MR 1921706.
Väisälä, Jussi (2005). "Espacios hiperbólicos de Gromov". Exposiciones Mathematicae . 23 (3): 187–231. doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010.