Atmósfera gris

La atmósfera gris (o atmósfera gris) es un conjunto útil de aproximaciones realizadas para aplicaciones de transferencia radiativa en estudios de atmósferas estelares (atmósferas de estrellas) basadas en la noción simplificada de que el coeficiente de absorción de materia dentro de la atmósfera de una estrella es constante, es decir, inmutable, para todas las frecuencias de la radiación incidente de la estrella . ${\displaystyle \alpha _{\nu }}$

Solicitud

La aproximación de la atmósfera gris es el método principal que utilizan los astrónomos para determinar la temperatura y las propiedades radiativas básicas de los objetos astronómicos, incluidos los planetas con atmósferas, el Sol, otras estrellas y las nubes interestelares de gas y polvo. Aunque el modelo simplificado de aproximación de la atmósfera gris demuestra una buena correlación con las observaciones, se desvía de los resultados observacionales porque las atmósferas reales no son grises, es decir, la absorción de la radiación depende de la frecuencia.

Aproximaciones

La aproximación primaria se basa en el supuesto de que el coeficiente de absorción , normalmente representado por un , no depende de la frecuencia para el rango de frecuencia en el que se trabaja, por ejemplo . ${\displaystyle \alpha _{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \alpha _{\nu }\longrightarrow \alpha }$

Normalmente se hacen simultáneamente varias otras suposiciones:

1. La atmósfera tiene una geometría plano-paralela.
2. La atmósfera está en equilibrio térmico radiativo .

Este conjunto de suposiciones conduce directamente a que la intensidad media y la función de fuente sean directamente equivalentes a una función de Planck de cuerpo negro de la temperatura a esa profundidad óptica .

También se puede utilizar opcionalmente la aproximación de Eddington (ver la siguiente sección) para calcular la función fuente. Esto simplifica enormemente el modelo sin distorsionar demasiado los resultados.

Derivación de la función fuente utilizando la aproximación de Eddington

Para obtener varias magnitudes del modelo de atmósfera gris es necesario resolver una ecuación integrodiferencial, cuya solución exacta es compleja. Por lo tanto, esta derivación aprovecha una simplificación conocida como la aproximación de Eddington. A partir de una aplicación de un modelo plano-paralelo, podemos imaginar un modelo atmosférico formado por capas plano-paralelas apiladas unas sobre otras, donde propiedades como la temperatura son constantes dentro de un plano. Esto significa que dichos parámetros son función de la profundidad física , donde la dirección de los puntos positivos apunta hacia las capas superiores de la atmósfera. A partir de esto, es fácil ver que una trayectoria de rayos en ángulo con la vertical, está dada por ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} z}{cos\theta }}}$

Ahora definimos la profundidad óptica como

${\displaystyle \mathrm {d} \tau =-\alpha \mathrm {d} s}$

donde es el coeficiente de absorción asociado con los diversos constituyentes de la atmósfera. Ahora nos centraremos en la ecuación de transferencia de radiación. ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} s}}=j-\alpha I}$

donde es la intensidad específica total, es el coeficiente de emisión. Después de sustituir y dividir por tenemos ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ ${\displaystyle -\alpha }$

${\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} \tau }}=I-S}$

donde es la llamada función de fuente total definida como la relación entre los coeficientes de emisión y absorción. Esta ecuación diferencial se puede resolver multiplicando ambos lados por , reescribiendo el lado izquierdo como y luego integrando toda la ecuación con respecto a . Esto da la solución ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle e^{-\tau /\mu }}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(Ie^{-\tau /\mu })}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle I(\tau ,\mu )={\frac {e^{\frac {\tau }{\mu }}}{\mu }}\int _{\tau }^{\infty }Se^{-{\frac {\tau }{\mu }}}\mathrm {d} \tau }$

donde hemos utilizado los límites a medida que integramos hacia afuera desde cierta profundidad dentro de la atmósfera; por lo tanto , . Aunque hemos descuidado la dependencia de la frecuencia de parámetros como , sabemos que es una función de la profundidad óptica, por lo tanto, para integrar esto, necesitamos tener un método para derivar la función de fuente. Ahora definimos algunos parámetros importantes como la densidad de energía , el flujo total y la presión de radiación de la siguiente manera ${\displaystyle \tau \in [\tau ,\infty )}$ ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle U={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{+1}I\mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle F=2\pi \int _{-1}^{+1}I\mu \mathrm {d} \mu }$

${\displaystyle P={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{+1}I\mu ^{2}\mathrm {d} \mu }$

También definimos la intensidad específica promedio (promediada sobre todos los ángulos ^[1] ) como

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}I\mathrm {d} \mu }$

Vemos inmediatamente que al dividir la ecuación de transferencia radiativa por 2 e integrar sobre , tenemos ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}=J-S}$

Además, al multiplicar la misma ecuación por e integrar con respecto a , tenemos ${\displaystyle {\frac {\mu }{2}}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {F}{c}}}$

Sustituyendo la intensidad específica media J en la definición de densidad de energía, también tenemos la siguiente relación

${\displaystyle J={\frac {c}{4\pi }}U}$

Ahora bien, es importante señalar que el flujo total debe permanecer constante a través de la atmósfera, por lo tanto

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}=0\iff J=S}$

Esta condición se conoce como equilibrio radiativo. Aprovechando la constancia del flujo total, ahora integramos para obtener ${\displaystyle {\frac {dP}{d\tau }}}$

${\displaystyle P={\frac {F}{c}}(\tau +C)}$

donde es una constante de integración. Sabemos por la termodinámica que para un gas isótropo se cumple la siguiente relación ${\displaystyle C}$

${\displaystyle P={\frac {1}{3}}U={\frac {4\pi }{3c}}J}$

donde hemos sustituido la relación entre la densidad de energía y la intensidad específica media derivada anteriormente. Aunque esto puede ser cierto para las profundidades más bajas dentro de la atmósfera estelar, cerca de la superficie casi con certeza no lo es. Sin embargo, la aproximación de Eddington supone que esto se cumple en todos los niveles dentro de la atmósfera. Sustituyendo esto en la ecuación anterior por la presión se obtiene

${\displaystyle J={\frac {3F}{4\pi }}(\tau +C)}$

y bajo la condición de equilibrio radiativo

${\displaystyle S={\frac {3F}{4\pi }}(\tau +C)}$

Esto significa que hemos resuelto la función fuente excepto por una constante de integración. Sustituyendo este resultado en la solución de la ecuación de transferencia de radiación e integrando obtenemos

${\displaystyle I(\tau =0,\mu )={\frac {3F}{4\pi }}{\frac {e^{\tau /\mu }}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(\tau +C)e^{-\tau /\mu }\mathrm {d} \tau ={\frac {3F}{4\pi }}(\mu +C)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm {for} \ \mu >0}$

Aquí hemos establecido el límite inferior de cero, que es el valor de la profundidad óptica en la superficie de la atmósfera. Esto representaría la radiación que sale, por ejemplo, de la superficie del Sol. Finalmente, sustituyendo esto en la definición de flujo total e integrando obtenemos ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle F=2\pi \int _{0}^{1}I\mu \mathrm {d} \mu ={\frac {3F}{2}}\int _{0}^{1}(\mu ^{2}+C\mu )\mathrm {d} \mu ={\frac {3F}{2}}\left({\frac {1}{3}}+{\frac {C}{2}}\right)}$

Por lo tanto, y la función fuente viene dada por ${\displaystyle C={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle S(\tau )={\frac {3F}{4\pi }}\left(\tau +{\frac {2}{3}}\right)}$

Solución de temperatura

La integración del primer y segundo momento de la ecuación de transferencia radiativa, la aplicación de la relación anterior y la aproximación del límite de dos corrientes conducen a información sobre cada uno de los momentos superiores en . El primer momento de la intensidad media es constante independientemente de la profundidad óptica : ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(\tau )=H}$

El segundo momento de la intensidad media, viene dado entonces por: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K(\tau )=\tau H+{\frac {2}{3}}H={\frac {1}{3}}J(\tau )}$

Obsérvese que la aproximación de Eddington es una consecuencia directa de estos supuestos.

Al definir una temperatura efectiva para el flujo de Eddington y aplicar la ley de Stefan-Boltzmann , se obtiene esta relación entre la temperatura efectiva observada externamente y la temperatura interna del cuerpo negro del medio. ${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T^{4}=T_{\rm {eff}}^{4}{\frac {3}{4}}\left(\tau +{\frac {2}{3}}\right)}$

Los resultados de la solución de atmósfera gris: la temperatura observada es una buena medida de la temperatura real a una profundidad óptica y la temperatura superior de la atmósfera es . ${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau \approx 2/3}$ ${\displaystyle \approx 0.841T_{\rm {eff}}}$

Esta aproximación hace que la función fuente sea lineal en profundidad óptica.

Referencias

1. Owocki, Stan. "PHYS-633: Introducción a la astrofísica estelar" (PDF) . Phys6333-notes1.pdf . The Bartol Research Institute . Consultado el 22 de junio de 2023 .

Rybicki, George; Lightman, Alan (2004). Procesos radiativos en astrofísica . Wiley-VCH . ISBN 978-0-471-82759-7.