En geometría algebraica un jacobiano generalizado es un grupo algebraico conmutativo asociado a una curva con un divisor, generalizando la variedad jacobiana de una curva completa. Fueron introducidos por Maxwell Rosenlicht en 1954, y pueden usarse para estudiar coberturas ramificadas de una curva, con el grupo abeliano de Galois . Los jacobianos generalizados de una curva son extensiones del jacobiano de la curva mediante un grupo algebraico afín conmutativo , dando ejemplos no triviales del teorema de estructura de Chevalley .
Supongamos que C es una curva no singular completa , m un divisor efectivo en C , S es el soporte de m y P es un punto base fijo en C , no en S. El jacobiano generalizado J m es un grupo algebraico conmutativo con un mapa racional f de C a J m tal que:
Además, J m es el grupo universal con estas propiedades, en el sentido de que cualquier mapa racional de C a un grupo con las propiedades anteriores se factoriza únicamente a través de J m . El grupo J m no depende de la elección del punto base P , aunque cambiar P cambia ese mapa f mediante una traslación.
Para m = 0 , el jacobiano generalizado J m es simplemente el jacobiano J habitual , una variedad abeliana de dimensión g , el género de C.
Para m un divisor efectivo distinto de cero, el jacobiano generalizado es una extensión de J por un grupo algebraico afín conmutativo conectado L m de dimensión grados ( m ) −1. Entonces tenemos una secuencia exacta.
El grupo L m es un cociente
de un producto de grupos R i por el grupo multiplicativo G m del campo subyacente. El producto recorre los puntos P i en el soporte de m , y el grupo U P i ( n i ) es el grupo de elementos invertibles del anillo local módulo los que son 1 mod P i n i . El grupo U P i ( n i ) tiene dimensión n i , el número de veces que P i ocurre en m . Es el producto del grupo multiplicativo G m por un grupo unipotente de dimensión n i −1, que en característica 0 es isomorfo a un producto de n i −1 grupos aditivos.
Sobre los números complejos , la estructura algebraica del jacobiano generalizado determina una estructura analítica del jacobiano generalizado convirtiéndolo en un grupo de Lie complejo .
El subgrupo analítico que subyace al jacobiano generalizado se puede describir de la siguiente manera. (Esto no siempre determina la estructura algebraica ya que dos grupos algebraicos conmutativos no isomórficos pueden ser isomórficos como grupos analíticos). Supongamos que C es una curva con un divisor efectivo m con soporte S. Existe un mapa natural del grupo de homología H 1 ( C − S ) al dual Ω(− m )* del espacio vectorial complejo Ω(− m ) (1-formas con polos en m ) inducido por la integral de a 1 forma en 1 ciclo. El jacobiano generalizado analítico es entonces el grupo cociente Ω(− m )*/ H 1 ( C − S ).